いろいろな微分方程式を扱ったサイトです。

トップページ ＞ 偏微分方程式 ＞ 境界値に関する問題 ＞ 無限区間の熱方程式

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度はについて無限に長い場合（無限区間）の方程式を考えてみることにしましょう。

 

初期条件：
同じように変数分離を行いそれぞれの定数をとします。

 

右辺はの関数、左辺はの関数になっていますので、それぞれを定数とみなして式を作ります。

 

 

について

 

特性方程式はなので基本解は

 

 

次に

について

 

を代入すると

 

 

 

これらの結果によりは

 

上記の定数にはそれぞれの中にが組み込んであるものとしています（単に表記を簡略化しているだけです）。

 

上記の解において、線形結合なのでこれによる重ね合わせもまた解になるということを考えれば

 

 

と表現できます。さらにここでをの関数を考えた場合、

 

 

この式が初期条件を満たすようにします。

 

 

ここでのフーリエ積分表示を適用すれば、

 

 

となるので代入して

 

 

ここで収束性というのについて述べるとフーリエ積分とはがという範囲において絶対積分可能であり、さらにはこのが有界（※無限に長い棒としていますがで有界という前提）であるというこの２つの条件を満たせば積分順序の交換が可能になります。
そうすると次のようにできます。

 

 

先ほどのセクション（一次元熱伝導方程式）のと違うところは、無限区間（における熱伝導方程式）という前提のためにフーリエ積分になるのであって、そのフーリエ積分という性質のために新しくの部分の計算が必要になってくることです。

 

の計算

まず求める積分をと置きましょう。

 

 

これをで偏微分します。

 

 

この式の右辺に対して部分積分を実行します。部分積分の公式に当てはめれば、それぞれ

 

 

となるので、

 

より、をについて微分した結果は

 

 

となります。これを利用すればの式における右辺の部分積分は、

 

 

という結果より、

 

 

となります。この微分方程式を解いていきます。

 

 

ここでのを見やすいようにただのと置きましょう。

 

すると、

 

 

といった感じになります。

 

次にこの定数について考察してみると、このはの変数をとしてをについて積分したものなのででてきた積分定数はになります。

 

を元に戻せば、

 

 

ここでの式にガウス積分公式が適用できるように積分範囲を広げます。

 

 

上式のガウス積分を実行するために変数変換をします。

 

 

代入すると、

 

 

 

よって答えは、

 

 

無限区間における熱伝導方程式関連ページ

波動方程式

波動に関する現象を、フーリエ解析における級数展開やフーリエ積分、さらに偏微分方程式を用いて考察していきます。

熱伝導方程式

備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でおながいします。