当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイト…
だった、のですが！！＜(ﾟ∀ﾟ)ノ
近頃の物理コンテンツの朴（パク）られ加減（とくによくわかる慣性モーメントとか）が半端ないので更新をほぼやめています。
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（＾ω＾）ﾌﾞﾋﾌﾞﾋﾌﾞｰ
注意ｶﾞｷ
トイレは次の人のために清潔に使いましょう
ここで変数変換
の式を現実のケースに置き換えて考えると
というのはコールオプションなどの満期日にあたるので（解は数学上では可能ですが）現実には
の値（時間）はマイナスになるということはありません。
そして最初の境界条件の
というのは満期を迎えた原資産価格
が行使価格
より大きいという条件なので
が
以下ならば金融派生商品
の価値は、さらには満期日における境界条件は
になるのでの式に代入すれば、
となります。
これを変形すると、
となります。ですので以上の結果を考慮すれば、最初に示した境界条件は、
前セクションにて導出された一次元熱伝導方程式に関して、変数分離という作業を行って順々に計算を実行していきます。
とします。
すると、
となるので、ここで変数分離を行うと、
 |
コールオプション価格などといった原資産価格 |
|---|---|
 |
金融派生商品の価格 |
ブラックショールズ偏微分方程式:、
ここで
は株価のボラティリティー
は非危険利子率（安全金利）
は
の関数なのですがこれをと
を使って、
とし、を、
ここで
をとしています。
こうしたときのブラックショールズ偏微分方程式式のそれぞれの偏微分の項、
これらを計算していきます。
前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は、
について無限に長い場合（無限区間）の方程式を考えてみることにしましょう。
積分範囲が無限区間となるのでこの場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。
同じように変数分離を行いそれぞれの定数を
とします。
右辺は
の関数、左辺はの関数になっていますので、それぞれを定数とみなして式を作ります。
について
についての特性方程式は、
なので基本解は、
未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。
つまり
がその方程式の解ならばその線形結合も解となります。
次のような式を考えてみましょう。
※）20211107訂正。右辺変数がではなくになっておりました。訂正しお詫び申し上げます。
変数分離法を使って、をとの関数として二つに分離します。
これを上式に代入すると、
さらにここでの項との項を以下のように左右二つに分類分けをします
式の両辺をよく見てみるとそれぞれがとだけの関数になっていることがわかると思います。
上式のようにとを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよく、この定数をそれぞれの式に対して、
と置くと、
という２つの方程式で表せます。
今、周期的ではない関数があったとします。
このとき、
| 周期 |  |
|---|
と考えることが出来るかと思います。
こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。
上記式の
、
は以下のようになります。
実際に代入してみると、
ここで三角関数の関係式
より、
これをフーリエ積分公式などといったりします。
熱伝導方程式を解く際にこの上記の公式に例えば乗数に変数
のついた
が一緒にある場合の計算が必要になります。
一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。
ただしこの積分は答えを出すまでが少々厄介です。
と
のグラフを見ればわかるように、
軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。
こうした場合、その遇奇性によりは
なので遇関数、は
なので奇関数であるといえます。
つまり求めるフーリエ級数展開において
が遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数
のそれぞれのどちらか一方が
になります。
例えば、関数が遇関数であるとし
に拡張し周期
の周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。
とすると、
は、
