旧For Unlawful Colonel Knowledge

Mathematical.jp

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

こんにちわんわんお(∪^ω^)

 

当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイト…

 

だった、のですが!!<(゚∀゚)ノ



近頃の物理コンテンツの朴(パク)られ加減(とくによくわかる慣性モーメントとか)が半端ないので更新をほぼやめています。


なので最近では統計数学とその周辺や特亜関連のコンテンツが中心になっています。物理関係のコンテンツ目当ての方には申し訳ないですが当分の間はやめます(気が向いたらやるかもしれません)。

 

当サイトのコンテンツは上部ヘッダーのメニューバーにそれぞれのサテライトサイトのリンクがあります。
そこからお好きなコンテンツにお入りください。

 

 

リンクフリーです。こんなサイトでよかったら勝手にリンクしてください。

(^ω^)ブヒブヒブー

 

 

注意ガキ

トイレは次の人のために清潔に使いましょう

新着情報

 

ここで変数変換uの変数変換の式を現実のケースに置き換えて考えるとt_nというのはコールオプションなどの満期日にあたるので(解は数学上では可能ですが)現実にはs - t_n - tの値(時間)はマイナスになるということはありません。

 

そして最初の境界条件のx=c, x>cというのは満期を迎えた原資産価格xが行使価格cより大きいという条件なのでu0以下ならば金融派生商品ω(x, t)の価値は0、さらには満期日における境界条件はtn - t = 0になるのでuの変数変換の式に代入すれば、u = log x/cとなります。

 

これを変形すると、

 

 

expu = x/c

 

 

 

となります。ですので以上の結果を考慮すれば、最初に示した境界条件は、

 

ω(x, t)の境界条件

ブログランキング・にほんブログ村へ

前セクションで出てきた、

熱伝導方程式による特性方程式


の式に関して、

これをf(p)とすると、

係数A(q)、B(q)は、


Constant coefficient A(q)

Constant coefficient B(q)


それぞれの式を代入すれば、

変数分離形



フーリエ積分への変換式

フーリエ積分への変換式

フーリエ積分への変換式
ブログランキング・にほんブログ村へ

前セクションにて導出された一次元熱伝導方程式に関して、変数分離という作業を行って順々に計算を実行していきます。

 

変数分離形

 

とします。

 

すると、

 

変数分離形

 

 

となるので、ここで変数分離を行うと、

 

変数分離形

ブログランキング・にほんブログ村へ

x: コールオプション価格などといった原資産価格
ω(x、t) 金融派生商品の価格

 

 

ブラックショールズ偏微分方程式:、

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,微分方程式

 

ここでvは株価のボラティリティー

 

r:非危険利子率(安全金利)は非危険利子率(安全金利)

 

 

ω(x、t)x、tの関数なのですがこれをusを使って、

 

 

y(u, s)

 

とし、ω(x、t)を、

 

Black?Scholes partial differential equation img1_1

 

 

Black?Scholes partial differential equation img1_2

 

ここで(t_n - t)sとしています。

 

 

こうしたときのブラックショールズ偏微分方程式式のそれぞれの偏微分の項、

 

 

Black?Scholes partial differential equation img1_3

 

 

これらを計算していきます。

ブログランキング・にほんブログ村へ

無限区間における熱伝導方程式(拡散方程式)とフーリエ積分

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は、

熱伝導方程式,変数分離形

について無限に長い場合(無限区間)の方程式を考えてみることにしましょう。

 

積分範囲が無限区間となるのでこの場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。

 

  • 初期条件

初期条件

 

 

同じように変数分離を行いそれぞれの定数をrhoとします。

 

初期条件

 

無限区間における熱伝導方程式

 

 

右辺はtの関数、左辺はxの関数になっていますので、それぞれを定数rhoとみなして式を作ります。

 

無限区間における熱伝導方程式

 

 

無限区間における熱伝導方程式について

 

無限区間における熱伝導方程式

 

についての特性方程式は、

 

無限区間における熱伝導方程式

 

 

なので基本解は、

 

無限区間における熱伝導方程式

 

無限区間における熱伝導方程式

ブログランキング・にほんブログ村へ

熱伝導方程式(拡散方程式)における重ね合わせの原理

未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。

 

つまりa1 a2 seriesがその方程式の解ならばその線形結合も解となります。

 

次のような式を考えてみましょう。

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

※)20211107訂正。右辺変数がvではなくuになっておりました。訂正しお詫び申し上げます。

 

変数分離法を使って、vxtの関数として二つに分離します。

 

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

 

これを上式に代入すると、

 

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

さらにここでxの項とtの項を以下のように左右二つに分類分けをします

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

 

式の両辺をよく見てみるとそれぞれがxtだけの関数になっていることがわかると思います。

 

 

上式のようにxtを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよく、この定数をそれぞれの式に対して、

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

 

と置くと、

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

という2つの方程式で表せます。

ブログランキング・にほんブログ村へ

今、周期的ではない関数があったとします。

 

このとき、

 

周期 フーリエ解析,フーリエ積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

と考えることが出来るかと思います。

 

 

こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

 

 

フーリエ積分公式

 

 

上記式のフーリエ積分フーリエ積分は以下のようになります。

 

フーリエ積分公式

 

 

実際に代入してみると、

フーリエ積分公式

 

フーリエ積分公式

 

ここで三角関数の関係式

 

三角関数公式

 

 

より、

 

フーリエ積分公式

 

これをフーリエ積分公式などといったりします。

 

熱伝導方程式を解く際にこの上記の公式に例えば乗数に変数xiのついた指数が一緒にある場合の計算が必要になります。

 

一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。

 

ただしこの積分は答えを出すまでが少々厄介です。

ブログランキング・にほんブログ村へ

■フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数■

cos xsin xのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

 

こうした場合、その遇奇性によりcos xf(-x)=f(x)なので遇関数、
sin xf(-x)=-f(x)なので奇関数であるといえます。

 

つまり求めるフーリエ級数展開においてf(x)が遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数an, bnのそれぞれのどちらか一方が0になります。

 

 

 

例えば、関数f(x)が遇関数f(-x)=f(x)であるとし-L<x<Lに拡張し周期2Lの周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

ブログランキング・にほんブログ村へ


ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 線形代数 ベクトル解析 慣性モーメント 解析力学 微分方程式 NEへの道しるべ