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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

こんにちわんわんお(∪^ω^)

 

当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイト…

 

だった、のですが!!<(゚∀゚)ノ



近頃の物理コンテンツの朴(パク)られ加減(とくによくわかる慣性モーメントとか)が半端ないので更新をほぼやめています。


なので最近では統計数学とその周辺や特亜関連のコンテンツが中心になっています。物理関係のコンテンツ目当ての方には申し訳ないですが当分の間はやめます(気が向いたらやるかもしれません)。

 

当サイトのコンテンツは上部ヘッダーのメニューバーにそれぞれのサテライトサイトのリンクがあります。
そこからお好きなコンテンツにお入りください。

 

 

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(^ω^)ブヒブヒブー

 

 

注意ガキ

トイレは次の人のために清潔に使いましょう

新着情報

 

x: コールオプション価格などといった原資産価格
ω(x、t) 金融派生商品の価格

 

 

ブラックショールズ偏微分方程式:、

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

ここでvは株価のボラティリティー

 

r:非危険利子率(安全金利)は非危険利子率(安全金利)

 

 

ω(x、t)x、tの関数なのですがこれをusを使って、

 

 

y(u, s)

 

とし、ω(x、t)を、

 

Black?Scholes partial differential equation img1_1

 

 

Black?Scholes partial differential equation img1_2

 

ここで(t_n - t)sとしています。

 

 

こうしたときのブラックショールズ偏微分方程式式のそれぞれの偏微分の項、

 

 

Black?Scholes partial differential equation img1_3

 

 

これらを計算していきます。

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無限区間における熱伝導方程式(拡散方程式)とフーリエ積分

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は、

熱伝導方程式,変数分離形

について無限に長い場合(無限区間)の方程式を考えてみることにしましょう。

 

積分範囲が無限区間となるのでこの場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。

 

  • 初期条件

初期条件

 

 

同じように変数分離を行いそれぞれの定数をrhoとします。

 

初期条件

 

無限区間における熱伝導方程式

 

 

右辺はtの関数、左辺はxの関数になっていますので、それぞれを定数rhoとみなして式を作ります。

 

無限区間における熱伝導方程式

 

 

無限区間における熱伝導方程式について

 

無限区間における熱伝導方程式

 

についての特性方程式は、

 

無限区間における熱伝導方程式

 

 

なので基本解は、

 

無限区間における熱伝導方程式

 

無限区間における熱伝導方程式

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熱伝導方程式(拡散方程式)における重ね合わせの原理

未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。

 

つまりa1 a2 seriesがその方程式の解ならばその線形結合も解となります。

 

次のような式を考えてみましょう。

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

※)20211107訂正。右辺変数がvではなくuになっておりました。訂正しお詫び申し上げます。

 

変数分離法を使って、vxtの関数として二つに分離します。

 

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

 

これを上式に代入すると、

 

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

さらにここでxの項とtの項を以下のように左右二つに分類分けをします

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

 

式の両辺をよく見てみるとそれぞれがxtだけの関数になっていることがわかると思います。

 

 

上式のようにxtを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよく、この定数をそれぞれの式に対して、

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

 

と置くと、

 

熱伝導方程式,変数分離形

 

という2つの方程式で表せます。

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今、周期的ではない関数があったとします。

 

このとき、

 

周期 フーリエ解析,フーリエ積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

と考えることが出来るかと思います。

 

 

こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

 

 

フーリエ積分公式

 

 

上記式のフーリエ積分フーリエ積分は以下のようになります。

 

フーリエ積分公式

 

 

実際に代入してみると、

フーリエ積分公式

 

フーリエ積分公式

 

ここで三角関数の関係式

 

三角関数公式

 

 

より、

 

フーリエ積分公式

 

これをフーリエ積分公式などといったりします。

 

熱伝導方程式を解く際にこの上記の公式に例えば乗数に変数xiのついた指数が一緒にある場合の計算が必要になります。

 

一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。

 

ただしこの積分は答えを出すまでが少々厄介です。

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■フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数■

cos xsin xのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

 

こうした場合、その遇奇性によりcos xf(-x)=f(x)なので遇関数、
sin xf(-x)=-f(x)なので奇関数であるといえます。

 

つまり求めるフーリエ級数展開においてf(x)が遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数an, bnのそれぞれのどちらか一方が0になります。

 

 

 

例えば、関数f(x)が遇関数f(-x)=f(x)であるとし-L<x<Lに拡張し周期2Lの周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

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区間フーリエ解析,フーリエ級数展開,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルは次のよう和の記号を用いて級数に展開することが可能であるとします。

 

 

フーリエ級数展開

 

 

このように表現されるとき、上式の右辺、

 

フーリエ級数展開

 

の部分をフーリエ級数展開といいます。

 

右辺式中のan, bnは次のようになります。

 

 

フーリエ級数展開公式

 

 

実際にan, bnを求めます。

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特性方程式

2階のある微分方程式、

 

定型数2階同次微分方程式

 

を考えて見ましょう。

 

 

いま、仮にこの式のy定係数2階同次微分方程式,特性方程式が解であるとします。

 

 

特性方程式

 

特性方程式

 

特性方程式

 

 

 

これを特性方程式といいます。

 

ここで高校で習った解の公式と特性方程式を使ってみると、

 

判別式

 

 

判別法というのを出してみると判別式ですがこれによって解の種類が3種類ほどに分別できます。

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微分方程式の例1)

 

つぎのようなxに関する方程式を考えます。

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

両側をxに対して微分します。

 

常微分方程式

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

これをさらに微分すると、

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

といったものが微分方程式です。

 

※)20211023修正(計算過程及び結果が間違っておりました。ご迷惑をおかけいたし大変申し訳ございませんでした)

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