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ブラックショールズ偏微分方程式:、

ここでは株価のボラティリティー

は非危険利子率（安全金利）

はの関数なのですがこれをとを使って、

とし、を、

ここでをとしています。

こうしたときのブラックショールズ偏微分方程式式のそれぞれの偏微分の項、

これらを計算していきます。

無限区間における熱伝導方程式（拡散方程式）とフーリエ積分

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は、

について無限に長い場合（無限区間）の方程式を考えてみることにしましょう。

積分範囲が無限区間となるのでこの場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。

同じように変数分離を行いそれぞれの定数をとします。

右辺はの関数、左辺はの関数になっていますので、それぞれを定数とみなして式を作ります。

について

についての特性方程式は、

なので基本解は、

熱伝導方程式（拡散方程式）における重ね合わせの原理

未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。

つまりがその方程式の解ならばその線形結合も解となります。

次のような式を考えてみましょう。

※）20211107訂正。右辺変数がではなくになっておりました。訂正しお詫び申し上げます。

変数分離法を使って、をとの関数として二つに分離します。

これを上式に代入すると、

さらにここでの項との項を以下のように左右二つに分類分けをします

式の両辺をよく見てみるとそれぞれがとだけの関数になっていることがわかると思います。

上式のようにとを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよく、この定数をそれぞれの式に対して、

と置くと、

という２つの方程式で表せます。

今、周期的ではない関数があったとします。

このとき、

周期

と考えることが出来るかと思います。

こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

上記式の、は以下のようになります。

実際に代入してみると、

ここで三角関数の関係式

より、

これをフーリエ積分公式などといったりします。

熱伝導方程式を解く際にこの上記の公式に例えば乗数に変数のついたが一緒にある場合の計算が必要になります。

一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。

ただしこの積分は答えを出すまでが少々厄介です。

■フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数■

とのグラフを見ればわかるように、軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

こうした場合、その遇奇性によりはなので遇関数、
はなので奇関数であるといえます。

つまり求めるフーリエ級数展開においてが遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数のそれぞれのどちらか一方がになります。

例えば、関数が遇関数であるとしに拡張し周期の周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

区間は次のよう和の記号を用いて級数に展開することが可能であるとします。

このように表現されるとき、上式の右辺、

の部分をフーリエ級数展開といいます。

右辺式中のは次のようになります。

実際にを求めます。

特性方程式

2階のある微分方程式、

を考えて見ましょう。

いま、仮にこの式のをが解であるとします。

これを特性方程式といいます。

ここで高校で習った解の公式とを使ってみると、

判別法というのを出してみるとですがこれによって解の種類が3種類ほどに分別できます。

微分方程式の例1）

つぎのようなに関する方程式を考えます。

両側をに対して微分します。

これをさらに微分すると、

といったものが微分方程式です。

※）20211023修正(計算過程及び結果が間違っておりました。ご迷惑をおかけいたし大変申し訳ございませんでした)