物理

平行軸定理を利用した円錐の慣性モーメントの求め方

前回にひき続き円錐に関する慣性モーメントを考察していきます。

 

 

今回は平行軸の定理という物体(剛体)の物理的特性を利用しながら円錐の慣性モーメントを2つの視点から求め、また更に同じように平行軸定理を利用して円錐の重心周りの慣性モーメントを求めていきます。

 

平行軸の定理とは求められた慣性モーメントの軸とは平行な任意の個所に置ける軸周りに関する慣性モーメントを求める際に利用される定理になります。

 

このセクションを一通り学習すれば平行軸の定理に関してより理解が深まり、実は大変便利で役に立つ定理であることが理解できると思います。

頂点周りの慣性モーメント

 

平行軸の定理

平行軸の定理とは、剛体の重心を通る慣性モーメントに対し、その慣性モーメントの軸とは平行な任意の場所における軸周りに関する慣性モーメントを求める際に利用される定理になります。

 

式としては次のようになります。

平行軸の定理

上記式において左辺Iが求めようとする任意の軸周りの(重心軸を通る慣性モーメントと平行な)慣性モーメント、右辺第1項が重心軸に関する慣性モーメントになり、第2項の高さhが重心軸とは平行な軸までの距離、そして円錐の質量Mが質量になります。

 

今回の場合、上記の定理をそのまま適用するのではなく、この場合移動させる距離変数が微小円盤要素円錐内の微小厚さ円盤部分の質量dmの中に入っているので積分を実行する前の形において距離変数距離変数zを組み入れ、それで微小厚さdzで積分して目的の定理の第2項を導いていくことになります。

 

 

回転軸が円盤の中心を通り円盤と平行な場合の慣性モーメントの計算過程

円錐における任意高さにおいて、その任意高さでの厚さ微小厚さdzの円盤の慣性モーメントを求めますがまず最初に回転軸が円盤の中心を通りその円盤と平行な場合の慣性モーメントの導出をします。

円盤の慣性モーメントの導出

円盤りの重心を通り、円盤の法線面と平行な軸に関する慣性モーメント

上記画像の円盤に関して、円盤の質量を円盤りの質量m、半径を円盤りの半径mとします。

 

また座標系は前回と同様にデカルト座標ではなく平面極座標のヤコビアンを使用して微小面積は平面極座標における微小面積rdrdtheta
面積が円盤の面積πr^2なので、この円盤の密度円盤の面積密度rhoは、

 

円盤の面積密度rho

 

さらにこの場合軸からの距離は、

円盤の重心を通り平行な軸を通る回転軸からの距離変数

 

これらにより円盤の重心を通り平行な軸を通る円盤の微小質量要素は、

円盤の重心を通り平行な軸を通る円盤の微小質量要素

 

これを積分計算によって足し上げます。

続きを読む≫ 2022/09/06 05:22:06

先日つべを見ていたところ、moment of 〜というのが出ていたのでリンク先を見たら円錐の慣性モーメントの計算に関するものでした。

 

moment of inertiaとは慣性モーメントのことでこれは物体(剛体)の回転運動に関する物理的特性を示す用語になります。

 

サテライトサイトでこの慣性モーメント(よくわかる慣性モーメント)に関するサイトを運営しているので興味本位で見たところ結構面白かったので今回これの詳細な説明と計算過程をやってみたいと思います。

 

 

 

右の円錐の画像はもともとよくわかる慣性モーメントというサテライトサイトにて体積積分の例題として使っているものになります。
これを使って進めていこうと思います。

円錐の慣性モーメント

 

上図右側の円錐の絵は、映像のホワイトボードに出ている円錐の相似関係とは微妙に違いますが意味的には同じことなので絵の通りの相似関係で進めていきます(物理関連のサイト更新はしないと言ってますが、まぁ多少の気まぐれもありますニダ<`ω´>)

続きを読む≫ 2022/08/15 01:34:15
まず熱力学の第一法則より、

物理学,熱力学,エントロピー

これに対して物理学,熱力学,エントロピーと照らし合わせれば、

物理学,熱力学,エントロピー

さらに物理学,熱力学,エントロピー(1モルの気体)によって、

物理学,熱力学,エントロピー

続きを読む≫ 2021/06/05 23:49:05
コンプトン散乱の図、

コンプトン散乱,コンプトン効果,衝突,非弾性衝突,相対論的場

これより

コンプトン散乱,コンプトン効果,衝突,非弾性衝突,相対論的場

このような関係式が導き出されたのでこのコンプトン散乱,コンプトン効果,衝突,非弾性衝突,相対論的場の式をそれぞれ具体的に計算して変形させていきます。
続きを読む≫ 2017/11/12 15:19:12
コンプトン散乱において相対論的な場を考慮するならば電子の質量コンプトン効果,コンプトン散乱,相対論的場は、

コンプトン効果,コンプトン散乱,相対論的場

なので衝突前後の運動量の方程式、

コンプトン効果,コンプトン散乱,相対論的場

は、次のようになりました。

コンプトン効果,コンプトン散乱,相対論的場

続きを読む≫ 2017/11/04 08:09:04

エックス線の性質

医療用レントゲン撮影などでよく知られていますがこれの正体は厳密にいうと光と同じもので波長が違うだけの電磁波の一種になります。
また、このエックス線に類似した同じ電磁波としてガンマ線というのがありますがこれとのエックス線の違いは、原子核の中から発生するのがガンマ線であり原子核の外から発生する電磁波がエックス線になります。二つとも光と同じ電磁波の一種で普段目にする可視光線よりも短い波長を持ちます。
一般的にエックス線とガンマ線は波長の違いによる区別をしておりますが付け加えるとその発生機構の違いもあります。
続きを読む≫ 2017/10/29 08:34:29
熱換算量線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学において、その変化が連続的であるならばそれを積分に書き直すと、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

ある系が一つのサイクルによって仕事を外部に対して行っていった場合、トムソンの原理によりマイナス、またはゼロでなければならないので上記式の積分は、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

式において等号はこのサイクルにおいて可逆的な場合に成り立ち、系がAからBへ準静的変化するとした場合、エントロピー変化の差はこの式に置ける積分を実行すれば、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

続きを読む≫ 2017/04/10 00:12:10

エントロピーとは

私たちの普段の生活においてもわかりうることのように、熱というのは高いほうから低いほうへ移動しその逆はありえません。
その過程は簡単にいえば一方通行のようなもの、ひいてはその熱量の移動に関して元の状態には戻らない不可逆的なものであるということがいえるでしょう。その状態量の増加する様子をエントロピーといいます。
この示量性状態量をあらわすそれは線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学で表し、また、系の可逆的なエネルギー循環ならばエントロピーは“0”であり、不可逆的な過程ならばエントロピーは増大していきます。

 

一般的に“乱雑さ”といわれますがこの乱雑さが増大するということを意味するので何かのエネルギー量が増えるというようなものではありません。

 

数式で示せば、まず系に加えられる熱量を線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学とし、これに対して線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学したもの

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

このときにおける線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を取り出すと、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

その過程は準静的に行われ、それによりエントロピーという状態量が線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学だけ増すものと考えます(エントロピーの増大)。

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

・・・・ 準静的変化の場合は、線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は状態量になる。

続きを読む≫ 2017/04/01 07:05:01
コリオリ弾道軌道計算の修正
11月25日記事のコリオリ弾道計算において最後の積分は不定積分を行ってましたが時間0から時間tまでの飛行時間の発射を仮定しており、厳密には不定積分ではなく0→tの定積分が妥当だと思いましたので次のように計算式を訂正します。
x式の修正
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解

コリオリ,計算,微分演算子法,特解


z式の修正
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

続きを読む≫ 2014/01/01 13:11:01
過去最大のクエーサー放出エネルギーを観測、太陽の2兆倍
http://www.afpbb.com/articles/-/2913865
ブラックホールの超高速ジェット、重粒子を含む可能性 豪研究
http://www.afpbb.com/articles/-/3003371

 

元々は2ちゃんの科学ニューススレから見つけてきたものなんですが結構面白い記事でしたのでスレ内のリンク先を引っ張ってきて取り上げてみました。
この内容だけでも非常に興味を引くと思いますが、さらにこうした事象における歴史的背景や数理論的な解釈などに関する解説なんかもあったらいいだろうなと思いましたので、今回はこれらの周辺知識についてやってみました。
クェーサー,クエサイステラー,ブラックホール,降着円盤,シュバルツシルト半径,赤方偏移

続きを読む≫ 2013/12/29 15:00:29

 

8月18日の記事、“コリオリと軽火器の話”において長距離射撃におけるコリオリ力の影響について簡単に説明しました。

 

重複しますがこの“コリオリ”というのは地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。
実際の現象で有名なのは台風の回転する向きなどで、それ以外には射程数キロをこえるような長距離狙撃などを行う場合はこのコリオリ力の影響を考慮する必要があり、よくマンガやアニメなどでその題材にされることもあるようです。

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ


 

以下の数式は回転座標系における見かけの運動力も考慮した運動方程式になります。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

右辺第2項と第3項にあるのがその見かけの運動力を示す部分になりますが2項と3項の間にあるバッテンは、掛け算のバッテンではなく外積(クロスプロダクト)の表示です。この外積に関しての説明はこちらのサイトを参照してみてください。
前回の記事ではコリオリの力の説明のみで、実際の弾道計算などの内容はなかったので今回は具体的にその弾道計算を代数的にやってみようと思います。
続きを読む≫ 2013/11/25 21:23:25
物体(剛体)の回転に関する物理的特性を示す用語で“慣性モーメント”というのがありますが、それに関連する内容で“平行軸の定理”というのがあります。

 

これは物体の軸に関しての慣性モーメントがわかっているとき、これに平行な位置における軸に関しての慣性モーメントを求めるとき使われる計算法になります。

 


慣性モーメントの詳しい説明はこちら

 

続きを読む≫ 2013/09/01 00:27:01

ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 線形代数 ベクトル解析 慣性モーメント 解析力学 微分方程式 NEへの道しるべ