このチャプターでは微分積分仁おける基本的な計算からそれらを発展させた全微分、偏微分さらには置換積分部分積分、ガウス積分などについて説明していきます。
上記の方程式はブラックショールズ偏微分方程式と呼ばれるものです。
下の図1のグラフは
図 1: 正規分布関数
内容はブラックショールズのモデル導出に関する部分に限らず、最初のほうには偏微分、合成関数微分や全微分などの微分積分に関する簡単な知識、フーリエ解析におけるフーリエ級数展開およびフーリエ積分などの計算法、さらには微分方程式、熱伝導方程式、無限区間における熱伝導方程式などのブラックショールズ偏微分方程式からブラックショールズモデルを導くまでに必要不可欠な数学(物理数学)の解説などの内容も付け足しておきました。その部分は必要ないという方はチャプター5(ブラックショールズ偏微分方程式)のほうから閲覧していってください。
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フーリエ解析というのはフーリエという人が考え出した数学であり、もともとは熱の研究をしているときに熱伝導における数学的な記述を偏微分方程式により導き、その解を求めるためにこのフーリエ級数という理論的概念を構築したのが始まりだといわれています。
そしてそのフーリエ自信は「任意の(すべての)周期関数は三角関数の和として表せる」と主張していたようですが、実際にこの主張は大まかに正しいといわれております(フーリエ自信は証明はしてないそうです)。
現在にいたっては物理学を中心にしたさまざまな方面での利用(画像処理やデータ圧縮)、特にCT、MRIといった医用画像処理などの現代科学の基礎技術としてこの数学はおおいに役立ってもらっています。
このチャプターではフーリエ解析の概念と数学的技法を中心に解説していきます。