微分方程式いろいろ

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周期的ではない関数があったとします。このとき：周期と考えることが出来るかと思います。
こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

ただし

 

であり、実際に代入してみると、

 

 

 

ここで

 

 

より

 

 

これをフーリエ積分公式などといったりします。

 

熱伝導方程式を解く際に、この上記の公式に例えば乗数に変数のついたが一緒にある場合の計算が必要になります。

 

 

の求め方

まず積分順序を変更します。この場合、が有界かつ絶対積分可であるならば積分順序の変換が可能です。

 

 

このときのについて考えて見ましょう。 例えば、次のような場合の積分を解く方法を詳しくやります。

 

 

まず求める積分をと置きます。

 

 

これをまずで微分してみましょう。

 

 

ここで、

 

 

という関係を利用して部分積分をすると、

 

次にこの微分方程式の解を求めます。

さらにこの積分定数を求めます。このという積分定数はの変数をとしてをについて積分したものなので出てきた積分定数はであり、

 

 

 

ここでなので、

上記式のξの積分を求めるためにはまず積分範囲を広げて（軸を対称に広がっているため）

 

 

についての変数変換を実行するためにと置きます。

 

 

 

これを代入すれば、

 

よって求める積分の値は

 

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