フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数
とのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。
こうした場合、その遇奇性によりはなので遇関数、はなので奇関数であるといえます。つまり求めるフーリエ級数展開においてが遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数のそれぞれのどちらか一方がになります。
例えば、関数が遇関数であるとし に拡張し周期の周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。
これをフーリエ余弦展開といいます。
さらには、が奇関数ならば今度はがとなってしまうので周期のフーリエ級数展開はサイン項だけが残ります。よって、
となります。これをフーリエ正弦展開といいます。
実際に上記に述べたやり方でをフーリエ展開してみましょう。
グラフからわかるようには遇関数ですのでとなります。まずから計算していくと、
グラフからわかるようには遇関数ですのでとなります。まずから計算していくと、
よってフーリエ級数展開は、