よい子の低学年向け数学広場

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ビックバン理論

CMB：Cosmic Microwave Backgroundの発見

１９６０年代前半からＲ・Ｈディッキーらは放射が存在するなどとして放射計を開発し宇宙背景放射を検出しようとし、１９８９年　ＣＯＢＥの打ち上げによりの黒体放射を発見。 宇宙背景放射に対する因果律の説明は、恒星の光が塵などの物質によって反射されるなどして銀河内にとどまったものと考えられましたがこれだと方向による背景放射強度の“揺らぎ”が非常に滑らかであることの説明が難しく、更にはこの宇宙背景放射が黒体放射に極めてよく一致するということなどによりやがてビッグバン宇宙理論が注目されることになります。

ヴィーンの変移則と黒体放射

黒体というのは光などの電磁波をすべての波長において吸収またはそれを放出（反射）できる理想的な物体のことを言います。こうした性質を完全に持つ物体を完全黒体といいますが厳密にそういったものは存在しないといわれてます。 この黒体によって放射される電磁波を黒体放射といい放射される電磁波の波長をλ、温度をＴとおくと波長λでの黒体放射の式はプランク定数をｈ、ｃを光速、ボルツマン定数をｋとすれば次のように表されます。 このある波長λでの黒体放射の式を次のようにおきます。

波長λでのエネルギー密度

このエネルギー密度の式に対してλで偏微分を実行し、さらにそれに対して極値をとります。

ここで上記の式全体を見やすくするためにと置きます。

この(a)の式を解いていきますがこの方程式はLambertのＷ関数と呼ばれるものを使って解いていきます。このＷ関数というのは、と表すものであり、任意の複素数ｚに対して次のような式が成立します。

解き方としては(b)の式の左辺のような形にすれば右辺のｚが求まるという要領らしいです。

ここで両辺にをかけ、イクスポーネンシャルの乗数の部分と“Ｉ”の部分を同じ形にします。

(c)より、

となるので整理すれば、

このＬａｍｂｅｒｔＷ関数に関してはマテマテカのサイト、
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html などのWebサイトを参考にしてみてください。

 

そしてこの数値解析の結果を代入してを求めると、 よって波長の最大値における温度Ｔとの関係式は近似をして、

これをヴィーンの変位則といいます。

【例】　→ の星の場合

また、においてでは、

 

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