波動方程式
2階の偏微分方程式における境界値問題【波動方程式】
波動方程式(双曲形偏微分方程式)
境界条件は、
ここで上記のを、距離と時間の2つの変数を含む次のようなもととします。
(1)式に当てはめれば
これらにより
変数分離という作業を行えば、
このような変数分離形を行えば左右それぞれの辺を定数におけるので、その定数をと置くと次のような表現が可能になります。
それぞれの変数に分離できたのでまずはのほうから考えていきます。
次のような条件を考慮します。
という条件を満たすものを求めていきます。
の解での式を満たすものをは次に示す3つのものがあげられます。
のとき
になるので一般解は、のとき
一般解はとなるので条件より となります。この場合も再びは0となるのでと同じように解として意味がありません。
の場合
最後のを実際にやってみると、
実数部0、虚数部なので特性方程式は
条件から なので
の場合はの条件を満たすの解として
さらにに関して
意味のある解を代入すれば
この方程式の解を求めるために先ほどと同じく特性方程式を導くと
実数部0で虚数部がなので、
これらの結果をそれぞれ代入すると
考えれば
ただしとしています。
次に速度微分を考えると
意味のある解を代入すれば
先ほどの結果のを代入すると
初期変位のときに
フーリエ級数の半区間の展開において奇関数での拡張を思い出せば
代入すれば、