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『のとき』
“平らな宇宙”

⇒の値が必要

一般的な解に代入して計算すると、

これにより、 となります。つまりは時間の２／３乗に比例しています。

時間の逆数

現在の宇宙年齢は ここで、

として、

ただし、ハッブル時間です。
ハッブルの式よりであり、このD／V（時間）よりも実際は短いのですがはこれを満たします。

 

実際の観測結果との矛盾

古い星の集団で球状星団というのがありそのなかの星の年齢は つまり、フリードマンモデルにおいてK=0の場合だと��宇宙年齢：＜ 星の年齢�≠ﾆなってしまう宇宙論の年齢問題が生じてしまいます。

『（K=+1）のとき』

により一般的な解は、

こうした場合、体積は有限で曲がった空間　⇒　ユークリッド幾何学は成り立ちません。
上記の一般的な解における式に関してインテグラルを除いた部分を次のように置きましょう。

更にここで、kはゼロ以上の場合なので＋の符号のつく、つまりとなるほうを使います。

ですので次のように置きます。

この(*)式に対して積分を実行します。 まず、を次のように置く変数変換をします。

これを(*)に代入します。

次はこのIの計算を実行しますが今度は更に上記のｘをと置く変数変換をします。
ここで注意する点を言うとサインの二乗は、ついついとしたくなりますが、ここでのこのｘの微分には合成関数微分法をつかって実行します。

Iに代入します。

ここで今度は先ほどのを代入して積分します。

一般的な解におけるを使えばtは次のようになります。

また、スケール因子は次のようになります。

最後にこのモデルにおいて、先ほどの積分計算に出てきたは、さらにはを使って書くと、

となりますがサインの最大値は“１”であるのでの値におけるその最大値をと置けば次のようになります。

『（K=-1）のとき』 今度はkはゼロ以下の場合なので-の符号のつく、となるほうを使います。

と置いて積分を実行します。

ここでさらにｘを（シンチまたはハイパボリックサインといいます）と置く変数変換をしこれに対して合成関数微分法によってθで微分すれば、

これらを先ほどの(★)に代入します。

ここからIの積分を実行しますが、中のシンチと呼ばれるものは次のように表せるのです。 右のほうはハイパボリックのコサイン、またはコッシュなどと呼ばれたりするものです。 これの２乗なので実際に計算していくと、

代入します。

よってｔは次のようになります。 また、スケール因子は次のようになります。

 

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