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いま最初の式を思い出すと、
よりこれらに代入して次のような結果を得ます。

 

ここで最初のを作用素とした同次と非同次の方程式はそれぞれ

 

より、







なので、上式の右辺第1項と第2項はキャンセルされて次のような式、 さらに先ほどの条件式を付け加えると、 この2式をの連立微分方程式を解いていくとまず(1)の式から、

これを(2)の式に代入します。

 

ここで出てきた上の行列式を次のようにおいて積分変形していきます。

より出てくる積分定数をと表示して、

 

一方、は、

より、

同様にして、

これらの結果から1次結合の式より、



以上の結果によりを同次微分方程式の基本解とし非同次方程式における特殊解を、

とすれば非同次微分方程式、

における一般解は次のようなものになります。

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