よい子の低学年向け数学広場

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（１）〜（４）の式をマックスウェル方程式−電磁場の基礎（基本）方程式を言います。

 

さらに（５）（６）の式を補助方程式とします。

 

ちなみに真空の場合は

以下では真空場を簡単のために扱うようにします。

（１）〜（４）の方程式を解くことを考えるときに各式においてが絡んで入っており単純な問題になっておりません。その理由は（１）ではが与えられるとが求まります（またはその逆でもよい）。

 

しかしをつくり、また、

の時間変化はの変化を（４）式を経て生じます。

 

そこでＭａｘ　ｅｑを解く問題は次に示す２つに分類して解くことになります。 となります。

 

例として第一の問題としてはブラウン管内の電子ビーム軌跡、電子顕微鏡の電子線、または加速器。
第二の問題は電磁気学の問題として、ある真空管内電場、電子顕微鏡内の場。
ここでは第二の問題について考えていくことにしましょう。

 

まず（１）〜（４）の式の中でが与えられたときのを求めることを考えていきます。

 

 

基本的には連立方程式を求める問題になります。まず、

 

〔未知数の数　＝　独立方程式の数〕

 

の確認をします。

 

式は一見すると８個の式があると考えることができます。未知数の数はの３個との３個であるので計６個となります。

 

（４）式のdivergenceをとると

 

これらの両辺を時間で微分すれば、

 

この式においてｔ＝０で定数＝０なら条件（初期）をおけばでこれはＭａｘ　ｅｑ　（２）を満たしています。

 

 

次に（３）式の両辺のdivergenceを作ると

 

 

ここで一般的な電荷保存則、

を用いると、

上式をｔで積分すると

 

ｔ＝０で、定数＝０ととると これはその後の時刻において常に成立しています。

 

すなわち（１）式は初期条件にほかなりません。

 

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