2014年1月1日

コリオリ弾軌道計算-補遺

コリオリ弾道計算の修正と微分演算子法

コリオリ弾道軌道計算の修正
11月25日記事のコリオリ弾道計算において最後の積分は不定積分を行ってましたが時間0から時間tまでの飛行時間の発射を仮定しており、厳密には不定積分ではなく0→tの定積分が妥当だと思いましたので次のように計算式を訂正します。
x式の修正
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解

コリオリ,計算,微分演算子法,特解


z式の修正
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
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コリオリ,計算,微分演算子法,特解

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補遺−微分演算子法の解説

コリオリ弾道計算において連立微分方程式y式の解法に使われていた計算式は、一般的に微分演算子法と呼ばれるもので、演算子を次のようなDに表して計算していくものになります。

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

これはあまりなじみがない計算法ですのでこれの説明を少しやってみようと思います。
ある関数を微分する場合は左側からコリオリ,計算,微分演算子法,特解のように演算子を“作用”させ、そしてそれらに働きかけて関数そのものを変化させます。
こういったものを作用素といい、この演算子法とはその作用素自体を記号のDなどとし、そしてそれを通常の“代数”(例えば分数)のように扱うちょっと変わった計算法になります。
例えばコリオリ,計算,微分演算子法,特解に対して上記の演算子を作用させれば

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

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逆演算子

通常Dはコリオリ,計算,微分演算子法,特解であるので、これの逆数コリオリ,計算,微分演算子法,特解は積分を意味していると考えるようにします。
仮にコリオリ,計算,微分演算子法,特解とするならば

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

 

であり、

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

を意味しています。

 

今ここで次のような関数コリオリ,計算,微分演算子法,特解を考え、それに対して微分演算子コリオリ,計算,微分演算子法,特解を作用させます。
積の微分により、

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

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またさらに次のような関数コリオリ,計算,微分演算子法,特解に対しても上記の場合と同じようにコリオリ,計算,微分演算子法,特解を作用させて計算すると、

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

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この計算結果を逆に捉えれば、

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

となり微分演算子コリオリ,計算,微分演算子法,特解の逆数をコリオリ,計算,微分演算子法,特解に作用させると右辺のように変化するんだと考えることができます。

 

こうした数学上の因果律を使って、

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

についての演算を解いていけば、

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解
コリオリ,計算,微分演算子法,特解

 

となるので結果的に次のような関係式が求まります。

コリオリ,計算,微分演算子法,特解

 

コリオリ弾道弾計算においてyの微分方程式における特解を求めた際に使われた計算法は、こうしたやり方を使用して結果を導いています。
また、問題の式はこの微分演算子法を使って因果律を求めていますが、これ以外にも求める方法はもちろんあります。yの式は定係数2階非同次微分方程式と呼ばれるもので、こういう微分方程式の特解を求める方法に例えばロンスキー行列式と呼ばれるものを使うという方法もあります。
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