物理学

円錐の慣性モーメントの導出

MoI of a Solid Cone

先日つべを見ていたところ、moment of 〜というのが出ていたのでリンク先を見たら円錐の慣性モーメントの計算に関するものでした。

 

moment of inertiaとは慣性モーメントのことでこれは物体(剛体)の回転運動に関する物理的特性を示す用語になります。

 

サテライトサイトでこの慣性モーメント(よくわかる慣性モーメント)に関するサイトを運営しているので興味本位で見たところ結構面白かったので今回これの詳細な説明と計算過程をやってみたいと思います。

 

 

 

右の円錐の画像はもともとよくわかる慣性モーメントというサテライトサイトにて体積積分の例題として使っているものになります。
これを使って進めていこうと思います。

円錐の慣性モーメント

 

上図右側の円錐の絵は、映像のホワイトボードに出ている円錐の相似関係とは微妙に違いますが意味的には同じことなので絵の通りの相似関係で進めていきます(物理関連のサイト更新はしないと言ってますが、まぁ多少の気まぐれもありますニダ<`ω´>)

円錐の体積

円柱座標系における円錐の体積積分に関する計算過程

円錐の慣性モーメントを導出する前に円錐の体積を求めます。
円錐の体積を求める場合デカルト座標ではなく円柱座標に置けるヤコビアンを使用します。

 

円柱座標におけるヤコビアン

 

なおrの範囲に関しては以下のような相似関係を利用します。

円錐の相似関係


 

円錐の相似関係


 

円錐の相似関係

 

微小体積要素は、

円柱座標系における円錐のヤコビアン

 

これらによりrに関しては先ほどの相似関係によって0から円柱座標系における円錐の相似関係によるrの範囲thetaに関しては0から2pizに関しては0から高さhになるので体積積分における重積分式は以下のようになります。

 

円錐の体積積分による重積分式

 

これを計算していきます。

 

円錐の体積積分計算過程

 

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算過程

円錐の体積積分計算結果

 

これにより円錐の体積は以下のように求まります。

円錐の体積積分計算結果

円盤の対称軸に関する慣性モーメントの計算

円錐の慣性モーメントを求める前にまず最初に以下に示す円盤の中心軸を通りその円盤対して垂直なz軸周りの慣性モーメントを求めます。

円盤の慣性モーメント

上記の画像の円盤は半径が円盤の半径Rの円盤と考えてください。最初の円錐内の円盤の半径は円盤の半径の距離変数rになっていますが、ここでの円盤の半径の長さは円盤の半径Rとおいておき、半径の距離変数を円盤の半径の距離変数rとしていますのでそこを注意してください。

 

座標系は2次元の平面極座標として考えれば、この時の微小部分の面積はヤコビアンによる計算結果により、

平面極座標におけるヤコビアン計算

 

平面極座標におけるヤコビアン

 

 

さらにこの円盤の全質量を今仮に微小部分の質量mとし、面積は円の面積pi r^2とすれば、円盤の密度円盤の密度rhoは、

円盤の密度rho

 

よって微小面積要素の質量は、

円盤の微小面積要素dv

 

回転軸からの距離は、

 

円盤の慣性モーメントにおける回転軸からの距離


 

円盤の慣性モーメントにおける回転軸からの距離

 

これらの結果により円盤の微小面積要素dIは、

 

円盤の微小面積要素dI

 

円盤の微小面積要素dI

 

円盤の微小面積要素dI

 

これを積分によって足し上げていきます。

 

円盤の慣性モーメント積分計算過程

 

円盤の慣性モーメント積分計算過程

円盤の慣性モーメント積分計算過程

円盤の慣性モーメント積分計算過程

 

これにより円盤の慣性モーメントは以下のようになります。

 

円盤の慣性モーメント積分計算結果

円錐の慣性モーメントの導出

材料がそろったのでここから具体的に円錐に関する慣性モーメントを計算していきます。
先ほど求めた円錐の体積と円錐の質量を質量Mとして円錐の体積密度を求めます。

円錐の体積 円錐の体積
円錐の質量 質量M

 

これにより円錐の体積密度は、

 

円錐の体積密度計算過程


 

円錐の体積密度計算過程

 

さらに上にある円錐の画像より任意の高さ任意高さzの位置にあると考える半径任意高さzにおける半径rの円盤の微小部分の厚さを任意高さzにおける厚さdzと考え、この任意の高さの微小円盤部分ととらえたところの質量を仮に任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量と置きます。

任意高さzにおける微小部分の質量

 

任意の高さ任意高さzにおける、厚さ任意高さzにおける円盤の厚さdzの円盤の質量

任意高さzにおける円盤の半径r

 

任意の高さ任意高さzにおける円盤の半径

 

 

また更に上記微小部分任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量に関しての質量は、

 

任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量

 

と考えられます。

 

この任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量dvに関してはさらに以下のように面積と厚さの掛け算と考えられます。

任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量dv

 

これにより円錐の任意高さzにおける微小厚さdzの質量は以下のように表現できることになります。

 

任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量dm

 

任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量dm

任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量dm

 

 

任意高さzにおける厚さdzの円盤の微小部分の質量dm

円盤に関してのz軸周りの慣性モーメントに関しては、先ほど求めた円盤の慣性モーメントより、m円錐の微小厚さ部分の質量dm円錐の微小厚さ部分の円盤の半径R円錐の微小厚さ部分の円盤の半径rに対応させて考え、さらにz軸周りの慣性モーメントをz軸周りの慣性モーメントIzと置きます。
これにより、z軸周りの微小部分質量dIzは、

 

任意高さzにおける厚さdzの微小質量要素dIz

 

任意高さzにおける厚さdzの微小質量要素dIz

任意高さzにおける厚さdzの微小質量要素dIz

 

 

任意高さzにおける厚さdzの微小質量要素dIz

ここで円錐に関する相似関係式rにより、

 

微小体積要素dIzに関する回転半径rの距離変数変換

 

微小体積要素dIzに関する回転半径rの距離変数変換

微小体積要素dIzに関する回転半径rの距離変数変換

 

任意高さzにおける微小質量要素dIz結果

これを全体にわたって積分していきます。
円錐のz軸周りの慣性モーメント計算過程

 

円錐のz軸周りの慣性モーメント計算過程

 

ここで上記積分を実行するために変数変換を実施します。
次のように置きます。

 

円錐の官営モーメント計算過程における積分による変数変換

 

これをzで微分すると、

 

dt/dz = -1


 

dt = -dz

 

 

このことにより積分範囲は0→hではなく次のように変更になります。

h - z 0 → h となる場合
huge small t h → 0 になると考える

 

よって円錐の慣性モーメントの積分(範囲)は以下のようになります。
この積分範囲の変更によってこれを積分計算していきます。

 

円錐のz軸周りの慣性モーメントの計算過程


 

円錐の対称軸周りの慣性モーメントの積分計算過程

円錐の対称軸周りの慣性モーメントの積分計算過程

円錐の対称軸周りの慣性モーメントの積分計算過程

 

これらにより次のように求まります。

 

円錐の対称軸周りの慣性モーメントの積分計算結果

 

当サイトは運営し始めて15年以上(ブラショーサル線よくベクよく慣が始まり)になりますが、私が学生時代のころ円錐に関する慣性モーメントが載っているテキストは見たことがありませんでした。
その当時からあったサイトは私の知っている限りでは物理のがきしっぽ様、そのちょっと後に高校数学の美しい物語(個人的に気に入っており暇があれば見ているサイトになります)様などがありますがそのサイトでも同様の結果になっているので円錐のz軸周りに関する慣性モーメントの計算結果はこれであっているかと思います。


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