数理統計学

ヤコビアン@

変数変換とヤコビアン

パクりブログ撲滅祈願コンテンツ更新第3弾数理統計学,変数変換,ヤコビアン,多変量正規分布

単刀直入に言うと、このエントリーは確率密度関数と変数変換コンテンツの続きではあるがよくわかる慣性モーメントの更新コンテンツも兼ねている。
ディレクトリ構造としては数理統計学の配下にあるサブカテゴリーの確率の数理の中で以下のように配置してあるエントリー(コンテンツ)になる。

 

数理統計学(カテゴリ)

 

確率の数理(サブカテゴリ)

 

┗ヤコビアン@(このページ)
確率密度関数と変数変換

 

 

当サイトは元々は物理専門のサイトであり物理専攻の人からからすれば微分積分、解析力学などで使われるものがなぜ数理統計学の多変量解析に?と面食らう人もいるだろうが、このヤコビアンというのは多変量解析においてよく登場し、しかも結構重要な役割をはたしている。
これに関しては順を追って解説していこうと思う。

 

ちなみに将来データエンジニアといったシステムエンジニアを目指している人などは多変量解析の知識を必要とされる場合があると思うが、それに対応した際にこうした部分の知識があればのちに役立つ内容になっていると思う。

 

よくわかる慣性モーメントのヤコビアンコンテンツの追加ドラコン

このドメイン下での数学物理関連のコンテンツは基本的にドラフトコンテンツであり、今後本サイトのほうへ移す際の査読記事みたいなものを置く場合もある。
今回のコンテンツはそれにあたる。

 

前々から言っているようにサテライトサイトのよくわかる慣性モーメントを筆頭にして、それ以外にもサルでもわかる線形代数よくわかるベクトル解析といったこのドメイン下のコンテンツ盗用が問題になっており、その対策としてのコンテンツ更新及びその拡充の一環になる。

 

更新をしていない理由

もともと本職が忙しいというのも本音としてあるが今までコンテンツを拡充していなかったのは難しい理論や考え方などは除いてWebサイトへの入り口というか間口を広くしておきたかったというのがある。

 

例えばよくわかる慣性モーメントに関する派生知識として“慣性モーメントテンソル”などといったものがあるが、あまり数学に慣れ親しんでない人の場合その単語(テンソル)が出てきた時点である種の“客離れ(サイトに訪れてもすぐに離れる)”になる可能性もある。

 

こういったことを避けるために私が運営する数学物理学コンテンツはなるべく難しい内容を避けつつ簡潔かつ初等レベルで理解できることを目標としたサイト作成を心がけているといった事もその一因になっている。

 

つまり基本としては道具としての数学を身に付けてもらいながらその他のコンテンツ、とりわけ特亜に関するコンテンツにも興味を持ってもらうための布石となるべく作られており、その対象は一般社会人をはじめとし、中学・高校生といったまだ10代の学生さん、さらに欲を言えば小学生でも意味程度なら理解できて興味をもって見てもらえるものを目標としたコンテンツ作成を主眼においている。

 

しかしながら昨今のコンテンツ盗用の状況を鑑みればサイトの内容を常に更新し、ある程度の専門性を持たせながらコンテンツの量を増やしていくことが一番の対策になるというのが実情としてあり、今後もコンテンツの拡充をしながら本来のサイト作成の方向性を少し変更していかなければならない時期かなと考えている。

 

 

よくわかる慣性モーメント、パーマメントリンク更新第3弾

ということで前回、第1弾、そして第2弾として円錐の慣性モーメントを取り扱ったが、今度は第3弾としてヤコビアンを取り上げることにした。

 

題名としては「変数変換とヤコビアン」であるが、これはもともと数理統計学の中のコンテンツ、「多変量確立ベクトルの計算」 → 「確率密度関数と変数変換」、といった内容の続きとして考えていたコンテンツになる。

 

このヤコビアンというものに関しては「よくわかる慣性モーメント」の中のサブカテゴリコンテンツにも「ヤコビアン」というのがあり、これに付加コンテンツとして取り上げる予定になっている。

 

習うより教えるほうが難しいという典型例━ヤコビアン

一般的にというかまあなんでもそうなのだが自分で理解するよりも他人に教えることのほうが難しいというのはよく言われるが、物理学における慣性モーメントの周辺知識としてわかりずらい、または他者に教えて理解してもらうのがやや困難なものとしては先ほど上げた慣性モーメントテンソル以外のものとして今回取り上げるこのヤコビアンというものになる。
道具として使うだけならば線形代数における行列式の計算ができればそれで特に問題がないものになるが、座標変換をする際の写像においてなぜヤコビ行列というものが出てくるのか、といったその根本的な考え方と説明になっている。

ニダ

はいはいそれではまずヤコビアンにおける変数変換とはなんなのかから説明していきましょう。

 

ただし重複するがあくまでドラコンの域を出ないのでかなり粗削りで、しかも独自の考察による内容になっているのでそのへんは注意して閲覧するように。

 

ヤコビアンとは

改めて説明すると多変量解析において重要な確率分布で多変量正規分布というのがあり、これを導く際に重要なものとしてヤコビアン(関数行列式)というのがある。

 

変数変換における重積分の公式では以下のようになっている。

重積分の変数変換公式

上記式の絶対値で囲まれているヤコビアンJがそのヤコビアンに当たる。

 

一般的に座標系といえば変数x, yで与えられた場合通常デカルト座標系といったものを使う。
ここでその変数x, yに対して新たにφ、ψといった関数を考えてその変数を変数u, vと置き、それが変数x, yとは可逆的な関係であるとして次のような式を考えることにする。

変数xの写像関数φ(u, v)

変数yの写像関数ψ(u, v)

上記の関数においてx-y平面平面上の点変数x, yu -v平面平面上の変数u, vに対応するとした図形を考えた場合、一般的にこれを写像という呼び方をする。

 

x-y平面平面上の点頂点Aを起点にした横の長さdx、縦の長さがdyの長方形の微小面積微小部分の長方形の面積dxdyを考えてその頂点をそれぞれ微小部分における長方形の頂点ABCDとして、次のような微小面積、

ヤコビアンの幾何学的な相似関係式

 

この微小面積における長方形の面積を微小部分の長方形の面積dxdyとした場合の面積素分と置くことにする。

上の図においてx-y平面平面上の点変数x, yu-v平面上平面上に落とし込んでいった場合、拉げた形の平行四辺形といったものになる。
そこで次のようにΔu,Δvといった変化量が近似的に次のような関係性を持っていると考える。

Δx,Δv

ここでx, yにおいてそれぞれをu, vで全微分を施すと次のような式が求まる事になる。

dxの全微分式

dyの全微分式

 

x-y平面平面からu-v平面上平面上にそれらを落とし込んでいった場合ひしゃげた平行四辺形になるが先ほどのdxdyの微小量におけるdxdyの微小量の面積が限りなく0に近づいていくものと考える。
そうすると最初はひしゃげた平行四辺形がだんだんと以下のような平行四辺形になっていくと考えられる。

変数変換とヤコビアン

そう考えろ!!

ヤコビ行列式の幾何学的な説明

ヤコビアンの幾何学的な意味を考える場合、まずx-y平面平面上の点における長方形微小部分の長方形の面積dxdyの頂点dxdyの微小面積の長方形の頂点A(0,0)から始まる面積素分を微小部分の長方形の面積dxdyとした場合の面積素分とし、これに対応するのがu-v平面上平面上における面積をdudvにおける面積素面と置く。

 

さらにここでx-y平面平面上の微小面積素分をd(x, y)の微小面積素分とし、またu-v平面上平面上の面積素分をd(u, v)の微小面積素分とする。

 

そうすると微小部分の長方形の面積dxdyとした場合の面積素分dudvにおける面積素面といった面積素分どうしは写像といった対応関係があるので次のような相似関係式が導かれることになる。

 

ヤコビアンの幾何学的な相似関係式

上記相似関係の式に関して次のように変形していく。

 

ヤコビアンにおける相似関係式

 

式を見ればわかるように右辺の計算部分は微小部分の長方形の面積dxdyとした場合の面積素分に対してdudvにおける面積素面がどの程度の比率になっているかを示していることがわかる。

 

右辺に関しては変数が多変数になり絶対値をとってさらに変形すれば以下のような関係式が求まることになる。

ヤコビアンにおける相似関係式

 

上記式において絶対値を取るのは対応する座標系に対してその値を合わせるため。
微小部分の長方形の面積dxdyとした場合の面積素分dudvにおける面積素面を元の微小量変化量に戻せば次のような関係式が導かれる。

ヤコビアンにおける相似関係式

 

上記関係式はx-y平面平面上の図形x-y平面上における図形A,B,C,Du-v平面上平面上における写像にて写しだされた場合における関係性を意味するものであり、微小面積素分dxdyという面積素分がu-v平面上平面上においてどの程度のスケール変換率になっているかを示しており、右辺の絶対値で囲まれた部分は単刀直入に言えばu-v平面上平面上における平行四辺形の面積素分になる。

平行四辺形の面積を求める

x-y平面平面上の点変数x, yu -v平面平面上の変数u, vに対応させた場合における新たな座標系の微小面積新しい座標系における微小面積dudvが等しくなるべくどの程度のスカラー量を作用させればいいかという変換率そのものはUV平面上に置ける平行四辺形の面積を示していることがわかった。今度はこの新しい座標系に置けるその平行四辺形の面積を求めていく。

 

微小部分の長方形の面積dxdyとした場合の面積素分微小面積素分dxdyに関するその座標点は以下のようになる。

 

デカルト座標系の微小面積dxdy

 

これに対し、新しい座標系におけるu -v平面平面上の微小面積dudvにおける面積素面における各点の座標は、

dxの全微分式dyの全微分式

 

であるので、dudv上の4点の座標点A’B’C’D’の座標点は以下のようになる。

dudv上の座標点A’

dudv上の座標点B’、D’

dudv上の座標点C’

微小面積素分dudv

図の平行四辺形の面積を求めていく。この時において必要になるのが次の3点、

u,v座標系における微小面積の座標点

になりこれを使って図の平行四辺形の面積を求めていくことにする。

 

先ほどの平行四辺形の面積は線形代数における解析幾何によって次のようになる。

 

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算

 

ただここで便宜上次のように置くことにする。

 

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算

便宜上こうすんだよ!!

これに先ほどの値を代入してこの行列式の計算をしていくことにする。

 

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算

 

となるが通常の行列式計算では上のほうから余因子展開していくがここでも便宜上、かつ計算の簡略化のため行列式の性質より次のように展開して計算していっても特に問題はないニダ。

 

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算

 

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算過程1

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算過程2

線形代数の解析幾何による平行四辺形の面積計算過程3

 

2変数における変数変換によるヤコビアン式

これらの結果によって結局のところ右辺の絶対値で囲まれた部分はスケール変換率に相当する2変数におけるヤコビアン、

デカルト座標系の微小面積dxdy

に相当することがわかる。

 

変数変換ヤコビアンによる具体的な座標変換における計算例

具体的な例としてここでは2変数変換における座標変換で平面極座標というのを取り上げてみる。
まず、上記の結果によって導き出された2変数におけるヤコビアンを使った座標変換によるある座標系q1,q2から考える別の座標系Q1,Q2への変換を考える場合、以下のようなヤコビ変数変換をとるものと考えれらる。

2変数におけるヤコビアン

 

平面極座標系

 

上記座標系において点点Pの位置はx=rcosthetax=rsinthetaなのでその距離は、

 

距離r

考える座標系は距離距離rと角度角度θによって決められる座標系と考えた場合、その座標系はx,yという座標系に対してどの程度のスケール変換率によって与えられるかということを考える。

 

x,y → r theta座標変換

 

上記のような写像を考えた場合、以下のヤコビアンの式、

2変数におけるヤコビアン

こうした場合の2変数におけるヤコビアン行列式の中身を表すと以下、

2変数におけるヤコビアン

 

と表現されるので先ほどのx,yの以下の式、

三極座標によるx, y

 

これに関してr,θでヤコビ行列のそれぞれの成分に対しての計算をしていけば次のように求まることになる。

極座標変換における偏微分式

上記のように求まるのでヤコビ行列式は以下のようになる。

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

 

これを通常の行列式として計算していく。

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

 

 

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

 

となるので2次元平面極座標におけるヤコビアンは次のように求まることになる。

xyのrθへの座標変換におけるヤコビ行列式計算

 

上記の計算結果を入れれば、

デカルト座標から平面極座標への変換

 

デカルト座標から平面極座標への変換

よってデカルト座標系のデカルト座標から平面極座標への変換は、ヤコビアンによる平面極座標変換によって以下のように求まることになる。

デカルト座標から平面極座標への変換

 

デカルト座標における微小面積カーテシャン座標における微小面積dxdyが平面極座標系の平面極座標系drdθ座標系へ変換されるとき、今回求められた平面極座標系のヤコビアンの結果rというヤコビアンをスカラ倍することによって上記のように同値になると考えればいい事になる。

 

具体的な例

ガウス関数

こうしてうまい具合にヤコビアンが求まったので今度は具体的な例として“ガウス分布関数”というのを扱ってみる。
無限区間において次のような分布をとる関数をガウス分布という。

ガウス分布

上記の画像は指数関数指数関数を描画したものになる。
これを-∞から+∞までの範囲において積分を実行すればどうなるかを考える。

 

答えを単刀直入に言うと次のような結果になる。

ガウス関数の積分結果

 

このためこれのことをガウスのインチキ積分などと言ったりするものがいるが実際にインチキでも何でもないことを証明してみるニダ。

 

まず積分する範囲をガウス関数の積分置換Iとおく。

 

そのガウス関数の積分置換Iを2乗したものに対して先ほど求まった平面極座標変換に置けるヤコビアン、

デカルト座標から平面極座標への変換

 

を適用するがここで座標x座標yを入れ替えた次のような分布、

ガウス分布x、yの入れ替えた分布図

 

としても同じ値(積分領域)であるということはわかると思う。

 

なので次のように表現できることになる。

 

ガウス積分計算過程

 

ガウス積分計算過程

ガウス積分計算過程

ガウス積分計算過程

ガウス積分計算過程

ここでガウス積分の変数変換を微分すると(変数変換をして)、

 

ガウス積分の変数変換

 

これより、

 

ガウス積分計算過程

 

なのでこれを使って、

 

数理統計学,変数変換,ヤコビアン,多変量正規分布

 

ガウス関数

ガウス関数積分

ガウス関数積分

ガウス関数積分

 

となるのでガウス関数の積分置換Iの2乗は次のように求まることになる。

 

ガウス積分計算結果@

 

ガウス関数積分は正なのでガウス関数積分

 

よって結果的に以下のように求まることになる。

ガウス関数積分

ガウス積分描画

わかったか!!

 

 

 

 


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ヤコビアンA(作成編集中)
当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 数理統計学−このコンテンツでは多変量解析において重要な考え方になる変数変換によるヤコビアン(関数行列式)について考察し、多次元における座標変換でその幾何学的な意味を導いていきます。
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【数理統計学】様々な確率分布−数理統計学におけるいろいろな確率分布について考察していきます。このエントリーでは確率密度関数と変数変換におけるヤコビアンに関して考察していきます。

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