確率密度関数と変数変換LaTeXコード
確率密度関数と変数変換で使われたLaTeXコード置き場になります。
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確率密度1
TeXコード
\begin{eqnarray*}
P\left(x_2\:\ge\:X\:>\:x_1\:\:\right)\;+\;P\left(\:x_1\:\ge\:X\:\right)\;=\;P\left(x_2\:\ge\:X\right)\\
P\left(x_2\:\ge\:X\:>\:x_1\:\:\right)\;=\;F\left(\:x_2\:\right)\;-\;F\left(\:x_1\:\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F\left(\:x_2\:\right)\;\ge\;F\left(\:x_1\:\right)
\end{eqnarray*}
出力画像
確率密度2
TeXコード
\[
F_{X}\left(\:x\:\right)\;=\;P\left(\:X\;=\;x\:\right)
\]
\[
\sum^{i\;=\;\infty}_{i\;=\;-\infty}f\left(\:x_i\:\right)\;=\;1
\]
\[
F_{X}\left(\:x\:\right)\;=\;\sum\limits_{i=-\infty}^j f\left(\:x_i\:\right)
\]
出力画像
確率密度関数
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\int^{\infty}_{-\infty}f\left(\:x\:\right)dx\;=\;1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\int^{b}_{a}f\left(\:x\:\right)dx\;=\;P\left(\:a\;\le\;X\;\le\;b\;\:\right)
\end{eqnarray*}
出力画像
分布関数
TeXコード
\begin{eqnarray*}
F_{X}\left(\:x\:\right)\;&=&\;P\left(\:X\;\le\;x\:\right)\\
\;&=&\;\int^{x}_{-\infty}f\left(\:t\:\right)dt
\end{eqnarray*}
\[
\frac{d}{dx}F_{X}\left(\:x\:\right)\;=\;F_{X}\left(\:x\:\right)
\]
出力画像
の周辺確率分布関数
TeXコード
\begin{eqnarray*}
F_{Y}\left(\:y\:\right)\;=\;P\left(\:Y\;\le\;y\:\right)
\end{eqnarray*}
\[
Y\;=\;g\left(\:X\:\right)
\]
\[
X\;=\;g^{-1}\left(\:Y\:\right)
\]
\begin{eqnarray*}
F_{Y}\left(\:y\:\right)\;&=&\;P\left(\:Y\;\le\;y\:\right)\\
\;&=&\;P\left\{\:g\left(\:X\:\right)\;\le\;y\:\right\}\\
\;&=&\;P\left[\:g^{-1}\left\{\:g\left(\:X\:\right)\:\right\}\;\le\;g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right]\\
\;&=&\;P\left\{\:X\;\le\;g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F_{Y}\left(\:y\:\right)\;&=&\;P\left\{\:x\;\le\;g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\\
\;&=&\;\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left(\:x\:\right)dx
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F_{Y}\left(\:y\:\right)\;=\;\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left(\:x\:\right)dx
\end{eqnarray*}
出力画像
変数変換1
TeXコード
\[
x\;=\;g^{-1}\left(\:y\:\right)\quad\Longrightarrow\quad\frac{dx}{dy}\;=\;\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}^{\prime}
\]
\[
dx\;=\;\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}^{\prime}dy
\]
\begin{eqnarray*}
F_{Y}\left(\:y\:\right)\;&=&\;\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left(\:x\:\right)dx\\
\;&=&\;\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}^{\prime}dy
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F_{Y}\left(\:y\:\right)\;&=&\;\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}^{\prime}dy
\end{eqnarray*}
出力画像
変数変換2
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dy}F_{Y}\left(\:y\:\right)\;&=&\;\frac{d}{dy}\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\frac{dg^{-1}\left(\:y\:\right)}{dy}\:dy\\
f_{Y}\left(\:y\:\right)\;&=&\;\frac{d}{dy}\int^{g^{-1}\left(\:y\:\right)}_{-\infty}f_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\:dg^{-1}\left(\:y\:\right)\\
\;&=&\;\frac{d}{dy}F_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\\
\;&=&\;\frac{d\:F_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}}{d\:g^{-1}\left(\:y\:\right)}\frac{d\:g^{-1}\left(\:y\:\right)}{dy}\\
\;&=&\;f_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\frac{d\:g^{-1}\left(\:y\:\right)}{dy}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f_{Y}\left(\:y\:\right)&=&f_{X}\left\{\:g^{-1}\left(\:y\:\right)\:\right\}\frac{d\:g^{-1}\left(\:y\:\right)}{dy}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f_{Y}\left(\:y\:\right)\;=\;f_{X}\left(\:x\:\right)\frac{dx}{dy}
\end{eqnarray*}
出力画像
ヤコビアン
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\bm{J}\;&=&\;\left|\:\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\:\right|\\
\;&=&\;\left|
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial x_1}{\partial y_1}&\frac{\partial x_1}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\\
\frac{\partial x_2}{\partial y_1}&\frac{\partial x_2}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_2}{\partial y_n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial x_n}{\partial y_1}&\frac{\partial x_n}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_n}{\partial y_n}\\
\end{array}
\right|
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\bm{J}\;&=&\;
\left|
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial x_1}{\partial y_1}&\frac{\partial x_1}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\\
\frac{\partial x_2}{\partial y_1}&\frac{\partial x_2}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_2}{\partial y_n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial x_n}{\partial y_1}&\frac{\partial x_n}{\partial y_2}&\cdots&\frac{\partial x_n}{\partial y_n}\\
\end{array}
\right|
\end{eqnarray*}
出力画像
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