分散共分散行列LaTeXコード
数理統計学コンテンツの中の分散共分散行列で使われたLaTeXコード一覧になります。
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３変量の場合の分散共分散行列
\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{ccc}
\sigma^{2}_{x}&Cov\left(x,\:y\right)\;&\;Cov\left(x,\:z\right)\\
\\
Cov\left(y,\:x\right)&\sigma^{2}_{y}&\;Cov\left(y,\;z\right)\\
\\
Cov\left(z,\:x\right)&Cov\left(z,\;y\right)&\sigma^{2}_{z}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
２変量正規分布
多変量正規分布の確率変数
が従う２変量正規分布
\begin{eqnarray*}
\left(
\left(
\begin{array}{c}
E\left(\:X\:\right)\;+\;E\left(\:Y\:\right)\\
\\
E\left(\:Y\:\right)\;-\;E\left(\:Z\:\right)
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{cc}
V\left(\:X\;+\;Y\:\right)\quad &Cov\left(\:X\;+\;Y\:,\; Y\;-\;Z\:\right)\\
\\
Cov\left(\:Y\;-\;Z\:,\; X\;+\;Y\:\right)&V\left(\:Y\;-\;Z\:\right)
\end{array}
\right)
\right)
\end{eqnarray*}
分散〜
\begin{eqnarray*}
Var\left[\:X\:\right]\;&=&\;E\left[\:\left(\:X\;-\;\mu\:\right)^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\;-\;2\mu X\;+\;\mu^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;2\mu \:E\left[\:X\:\right]\;+\;\mu^2\underbrace{\int 1\cdot f\left(\:x\:\right)dx}_{1}\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;2\mu\cdot\mu\;+\;\mu^2\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;\mu^2\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;\left(\:E\left[\:X\:\right]\:\right)^2
\end{eqnarray*}
和の分散式
\begin{eqnarray*}
V\left(\:X\;+\;Y\:\right)\;&=&\;E\left[\:\left\{\:\left(\:X\;+\;Y\:\right)-\left(\:\mu_x\;+\;\mu_y\:\right)\:\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:\left\{\left(\:X\;-\;\mu_x\:\right)\;+\;\left(\:Y\;-\;\mu_y\:\right)\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(X\;-\;\mu_x\right)^2\;+\;2\left(X\;-\;\mu_x\right)\left(Y\;-\;\mu_y\right)\;+\;\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(X\;-\;\mu_x\right)^2\right]\;+\;E\left[\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\right]\;+\;2E\Big[\left(X\;-\;\mu_x\right)\left(Y\;-\;\mu_y\right)\Big]\\
\;&=&\;V\left(X\right)\;+\;V\left(Y\right)\;+\;2\:Cov\left(X,\;Y\right)
\end{eqnarray*}
差の分散式
\begin{eqnarray*}
V\left(\:Y\;-\;Z\right)\;&=&\;E\left[\:\left\{\left(Y\;-\;Z\right)\;-\;\left(\mu_y\;-\;\mu_z\right)\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:\left\{\left(Y\;-\;\mu_y\right)\;-\;\left(Z\;-\;\mu_z\right)\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\;-\;2\left(Y\;-\;\mu_y\right)\left(Z\;-\;\mu_z\right)\;+\;\left(Z\;-\;\mu_z\right)^2\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\right]\;-\;2E\Big[\left(Y\;-\;\mu_y\right)\left(Z\;-\;\mu_z\right)\Big]\;+\;E\left[\left(Z\;-\;\mu_z\right)^2\right]\\
\;&=&\;V\left(\:Y\:\right)\;+\;V\left(\:Z\:\right)\;-\;2Cov\left(\:Y,\;Z\:\right)
\end{eqnarray*}
共分散
\begin{eqnarray*}
Cov\left(\:X+Y,\;Y-Z\;\right)\;&=&\;E\Big[\Big\{\left(X\;+\;Y\right)\;-\;E\big[\left(X\;+\;Y\right)\big]\Big\}\Big\{\left(Y\;-\;Z\right)\;-\;E\big[\left(Y\;-\;Z\right)\big]\Big\}\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\;-\;\left(X\;+\;Y\right)\cdot E\big[\left(Y\;-\;Z\right)\big]\;-\;\left(Y\;-\;Z\right)\cdot E\big[\left(X\;+\;Y\right)\big]\;+\;E\big[\left(X\;+\;Y\right)\big]\cdot E\big[\left(Y\;-\;Z\right)\big]\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\cdot E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\;+\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;2E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;+\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(XY\;-\;XZ\;+\;Y^2\;-\;YZ\right)\Big]\;-\;\Big(E\big[X\big]\;+\;E\big[Y\big]\Big)\Big(E\big[Y\big]\;-\;E\big[Z\big]\Big)\\
\;&=&\;E\Big[XY\Big]\;-\;E\Big[XZ\Big]\;+\;E\Big[Y^2\Big]\;-\;E\Big[YZ\Big]\;-\;\Big(E\big[X\big]\cdot E\big[Y\big]\;-\;E\big[X\big]\cdot E\big[Z\big]\;+\;E\big[Y\big]^2\;-\;E\big[Y\big]\cdot E\big[Z\big]\Big)\\
\;&=&\;\underbrace{E\Big[XY\Big]\;-\;E\Big[X\Big]\cdot E\Big[Y\Big]}_{Cov\left(\:X,\;Y\:\right)}\;-\;\overbrace{\Big(E\big[XZ\big]\;-\;E\big[X\big]\cdot {E\big[Z\big]\Big)}}^{Cov\left(\:X,\;Z\:\right)}\;+\;\underbrace{\Big(E\big[Y^2\big]\;+\;E\big[Y\big]^2\Big)}_{V\left(\:Y\:\right)}\;-\;\overbrace{\Big(E\big[YZ\big]\;-\;E\big[Y\big]\cdot E\big[Z\big]\Big)}^{Cov\left(\:Y,\;Z\:\right)}\\
\;&=&\;Cov\left(\:X,\;Y\:\right)\;-\;Cov\left(\:X,\;Z\:\right)\;-\;V\left(\:Y\:\right)\;-\;Cov\left(\:Y,\;Z\:\right)
\end{eqnarray*}
分散共分散行列
における多変量正規分布、
における分散共分散行列の計算結果。
\begin{eqnarray*}
&&\left(
\begin{array}{cc}
V\left(X\:+\:Y\right)&Cov\left(X\:+\:Y,\;\;Y\:-\:Z\right)\\
\\
Cov\left(Y\:-\:Z,\;\;X\:+\:Y\right)&V\left(Y\:-\:Z\right)
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;\left(
\begin{array}{ll}
V\left(X\right)\;+\;V\left(Y\right)\;+\;2Cov\left(X,\;Y\right)\quad &\quad Cov\left(X,\;Y\right)\;-\;Cov\left(X,\;Z\right)\;+\;V\left(Y\right)\;-\;Cov\left(Y,\;Z\right)\\
\\
Cov\left(X,\;Y\right)\;-\;Cov\left(X,\;Z\right)\;+\;V\left(Y\right)\;-\;Cov\left(Y,\;Z\right)\quad&\quad V\left(Y\right)\;+\;V\left(Z\right)\;-\;2Coc\left(Y,\;Z\right)
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
結果まとめ
\begin{eqnarray*}
\left(
\left(
\begin{array}{c}
E\left(\:X\:\right)\;+\;E\left(\:Y\:\right)\\
\\
E\left(\:Y\:\right)\;-\;E\left(\:Z\:\right)
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{cc}
V\left(\:X\;+\;Y\:\right)\quad &Cov\left(\:X\;+\;Y\:,\; Y\;-\;Z\:\right)\\
\\
Cov\left(\:Y\;-\;Z\:,\; X\;+\;Y\:\right)&V\left(\:Y\;-\;Z\:\right)
\end{array}
\right)
\right)\\
\;=\;\left(
\left(
\begin{array}{c}
\;\;5\;\;\\
\\
-1
\end{array}
\right),\;
\left(\quad
\begin{array}{cc}
5\qquad &\qquad\frac{32}{15}\\
\\
\frac{32}{15}\qquad &\qquad\frac{17}{3}
\end{array}
\quad\right)
\right)
\end{eqnarray*}
行列コーディング（array）のポイント
&と&の間が行列の各成分に対応しているのでそれを変更すればオリジナルのコンテンツが出来上がります。
また行列の列、及び行を増やす場合はarrayの後の{cc}となっているところを例えば３列にするには{ccc}、行を追加する場合は行の最後に\\（￥￥）で改行して、数値&数値&数値とすれば行列の各成分を増やすことができます。
各自工夫して使用するといいでしょう。
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