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分散共分散行列LaTeXコード置き場

分散共分散行列LaTeXコード

数理統計学コンテンツの中の分散共分散行列で使われたLaTeXコード一覧になります。

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3変量の場合の分散共分散行列

3変量の分散共分散行列

 

\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{ccc}
\sigma^{2}_{x}&Cov\left(x,\:y\right)\;&\;Cov\left(x,\:z\right)\\
\\
Cov\left(y,\:x\right)&\sigma^{2}_{y}&\;Cov\left(y,\;z\right)\\
\\
Cov\left(z,\:x\right)&Cov\left(z,\;y\right)&\sigma^{2}_{z}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

2変量正規分布

多変量正規分布の確率変数転置確率ベクトル(X+Y、 Y-Z)^Tが従う2変量正規分布

 

2変量正規分布

 

\begin{eqnarray*}
\left(
\left(
\begin{array}{c}
E\left(\:X\:\right)\;+\;E\left(\:Y\:\right)\\
\\
E\left(\:Y\:\right)\;-\;E\left(\:Z\:\right)
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{cc}
V\left(\:X\;+\;Y\:\right)\quad &Cov\left(\:X\;+\;Y\:,\; Y\;-\;Z\:\right)\\
\\
Cov\left(\:Y\;-\;Z\:,\; X\;+\;Y\:\right)&V\left(\:Y\;-\;Z\:\right)
\end{array}
\right)
\right)
\end{eqnarray*}

分散〜分散式Variance

分散Xの式の計算過程

 

 

分散Xの式の計算過程

分散Xの式の計算過程

分散Xの式の計算過程

分散Xの式の計算過程

分散Xの式の計算過程

 

\begin{eqnarray*}
Var\left[\:X\:\right]\;&=&\;E\left[\:\left(\:X\;-\;\mu\:\right)^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\;-\;2\mu X\;+\;\mu^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;2\mu \:E\left[\:X\:\right]\;+\;\mu^2\underbrace{\int 1\cdot f\left(\:x\:\right)dx}_{1}\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;2\mu\cdot\mu\;+\;\mu^2\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;\mu^2\\
\;&=&\;E\left[\:X^2\:\right]\;-\;\left(\:E\left[\:X\:\right]\:\right)^2
\end{eqnarray*}

和の分散式

 

\begin{eqnarray*}
V\left(\:X\;+\;Y\:\right)\;&=&\;E\left[\:\left\{\:\left(\:X\;+\;Y\:\right)-\left(\:\mu_x\;+\;\mu_y\:\right)\:\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:\left\{\left(\:X\;-\;\mu_x\:\right)\;+\;\left(\:Y\;-\;\mu_y\:\right)\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(X\;-\;\mu_x\right)^2\;+\;2\left(X\;-\;\mu_x\right)\left(Y\;-\;\mu_y\right)\;+\;\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(X\;-\;\mu_x\right)^2\right]\;+\;E\left[\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\right]\;+\;2E\Big[\left(X\;-\;\mu_x\right)\left(Y\;-\;\mu_y\right)\Big]\\
\;&=&\;V\left(X\right)\;+\;V\left(Y\right)\;+\;2\:Cov\left(X,\;Y\right)
\end{eqnarray*}

差の分散式

 

\begin{eqnarray*}
V\left(\:Y\;-\;Z\right)\;&=&\;E\left[\:\left\{\left(Y\;-\;Z\right)\;-\;\left(\mu_y\;-\;\mu_z\right)\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\:\left\{\left(Y\;-\;\mu_y\right)\;-\;\left(Z\;-\;\mu_z\right)\right\}^2\:\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\;-\;2\left(Y\;-\;\mu_y\right)\left(Z\;-\;\mu_z\right)\;+\;\left(Z\;-\;\mu_z\right)^2\right]\\
\;&=&\;E\left[\left(Y\;-\;\mu_y\right)^2\right]\;-\;2E\Big[\left(Y\;-\;\mu_y\right)\left(Z\;-\;\mu_z\right)\Big]\;+\;E\left[\left(Z\;-\;\mu_z\right)^2\right]\\
\;&=&\;V\left(\:Y\:\right)\;+\;V\left(\:Z\:\right)\;-\;2Cov\left(\:Y,\;Z\:\right)
\end{eqnarray*}

共分散

 

\begin{eqnarray*}
Cov\left(\:X+Y,\;Y-Z\;\right)\;&=&\;E\Big[\Big\{\left(X\;+\;Y\right)\;-\;E\big[\left(X\;+\;Y\right)\big]\Big\}\Big\{\left(Y\;-\;Z\right)\;-\;E\big[\left(Y\;-\;Z\right)\big]\Big\}\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\;-\;\left(X\;+\;Y\right)\cdot E\big[\left(Y\;-\;Z\right)\big]\;-\;\left(Y\;-\;Z\right)\cdot E\big[\left(X\;+\;Y\right)\big]\;+\;E\big[\left(X\;+\;Y\right)\big]\cdot E\big[\left(Y\;-\;Z\right)\big]\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\cdot E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\;+\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;2E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;+\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\;-\;E\Big[\left(X\;+\;Y\right)\Big]\cdot E\Big[\left(Y\;-\;Z\right)\Big]\\
\;&=&\;E\Big[\left(XY\;-\;XZ\;+\;Y^2\;-\;YZ\right)\Big]\;-\;\Big(E\big[X\big]\;+\;E\big[Y\big]\Big)\Big(E\big[Y\big]\;-\;E\big[Z\big]\Big)\\
\;&=&\;E\Big[XY\Big]\;-\;E\Big[XZ\Big]\;+\;E\Big[Y^2\Big]\;-\;E\Big[YZ\Big]\;-\;\Big(E\big[X\big]\cdot E\big[Y\big]\;-\;E\big[X\big]\cdot E\big[Z\big]\;+\;E\big[Y\big]^2\;-\;E\big[Y\big]\cdot E\big[Z\big]\Big)\\
\;&=&\;\underbrace{E\Big[XY\Big]\;-\;E\Big[X\Big]\cdot E\Big[Y\Big]}_{Cov\left(\:X,\;Y\:\right)}\;-\;\overbrace{\Big(E\big[XZ\big]\;-\;E\big[X\big]\cdot {E\big[Z\big]\Big)}}^{Cov\left(\:X,\;Z\:\right)}\;+\;\underbrace{\Big(E\big[Y^2\big]\;+\;E\big[Y\big]^2\Big)}_{V\left(\:Y\:\right)}\;-\;\overbrace{\Big(E\big[YZ\big]\;-\;E\big[Y\big]\cdot E\big[Z\big]\Big)}^{Cov\left(\:Y,\;Z\:\right)}\\
\;&=&\;Cov\left(\:X,\;Y\:\right)\;-\;Cov\left(\:X,\;Z\:\right)\;-\;V\left(\:Y\:\right)\;-\;Cov\left(\:Y,\;Z\:\right)
\end{eqnarray*}

分散共分散行列

(X+Y Y-Z)^T における多変量正規分布、

 

2変量正規分布における分散共分散行列

 

における分散共分散行列の計算結果。

 

\begin{eqnarray*}
&&\left(
\begin{array}{cc}
V\left(X\:+\:Y\right)&Cov\left(X\:+\:Y,\;\;Y\:-\:Z\right)\\
\\
Cov\left(Y\:-\:Z,\;\;X\:+\:Y\right)&V\left(Y\:-\:Z\right)
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;\left(
\begin{array}{ll}
V\left(X\right)\;+\;V\left(Y\right)\;+\;2Cov\left(X,\;Y\right)\quad &\quad Cov\left(X,\;Y\right)\;-\;Cov\left(X,\;Z\right)\;+\;V\left(Y\right)\;-\;Cov\left(Y,\;Z\right)\\
\\
Cov\left(X,\;Y\right)\;-\;Cov\left(X,\;Z\right)\;+\;V\left(Y\right)\;-\;Cov\left(Y,\;Z\right)\quad&\quad V\left(Y\right)\;+\;V\left(Z\right)\;-\;2Coc\left(Y,\;Z\right)
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

結果まとめ

 

\begin{eqnarray*}
\left(
\left(
\begin{array}{c}
E\left(\:X\:\right)\;+\;E\left(\:Y\:\right)\\
\\
E\left(\:Y\:\right)\;-\;E\left(\:Z\:\right)
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{cc}
V\left(\:X\;+\;Y\:\right)\quad &Cov\left(\:X\;+\;Y\:,\; Y\;-\;Z\:\right)\\
\\
Cov\left(\:Y\;-\;Z\:,\; X\;+\;Y\:\right)&V\left(\:Y\;-\;Z\:\right)
\end{array}
\right)
\right)\\
\;=\;\left(
\left(
\begin{array}{c}
\;\;5\;\;\\
\\
-1
\end{array}
\right),\;
\left(\quad
\begin{array}{cc}
5\qquad &\qquad\frac{32}{15}\\
\\
\frac{32}{15}\qquad &\qquad\frac{17}{3}
\end{array}
\quad\right)
\right)
\end{eqnarray*}

行列コーディング(array)のポイント

&と&の間が行列の各成分に対応しているのでそれを変更すればオリジナルのコンテンツが出来上がります。
また行列の列、及び行を増やす場合はarrayの後の{cc}となっているところを例えば3列にするには{ccc}、行を追加する場合は行の最後に\\(¥¥)で改行して、数値&数値&数値とすれば行列の各成分を増やすことができます。
各自工夫して使用するといいでしょう。


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当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 数学分野に関しての趣旨としては、通常のテキストでは割愛されてしまう内容などを詳しく記述し、さらには難しい説明をするのではなく、わかりにくい内容をいかにわかりやすく伝えるか━など、そういったウェブコンテンツならではの利便性と機動性を生かしたサイト作成を主眼としています。
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