多変量確率ベクトル計算のLaTeXコード置き場
多変量確率ベクトルの計算にて使われた主なLaTeXコード置き場になります。
コーディング時のエラーなどはLaTeXコンバート上での確認、及びTeXclip様のところでも確認しているのでそのままTeX上の\begin{document}から\end{document}の間に埋め込んでDVIファイル出力、またはTeXclip様のところでもそのままコピペして貼り付ければすぐにWeb上で使用できる画像を出力できます。
なおボールドの\bmに関してはTeXファイルのプリアンブル部分に以下を記述してください。
\usepackage{bm}
n次元縦型確率ベクトル
TeXコード
\begin{eqnarray*}
{\bm X}\;=\;\left(
\begin{array}{c}
X_1\\
X_2\\
\vdots\\
X_n
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
出力画像
確率行列
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\bf{X}\;=\;
\left(
\begin{array}{cccc}
X_{11}&X_{12}&\cdots&X_{1n}\\
X_{21}&X_{22}&\cdots&X_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
X_{m1}&X_{m2}&\cdots&X_{mn}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
出力画像
期待値ベクトル
\begin{eqnarray*}
E\left[\:\bm{X}\:\right]\;&=&\;
\left(
\begin{array}{c}
E\left[\:X_1\:\right]\\
E\left[\:X_2\:\right]\\
\vdots\\
E\left[\:X_n\:\right]
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;\Big(\:E\left[\:X_1\:\right]\quad E\left[\:X_2\:\right]\quad\cdots\quad E\left[X_n\right]\:\Big)^T
\end{eqnarray*}
出力画像
期待値行列1
TeXコード
\begin{eqnarray*}
E\left[\:\bf{X}\:\right]=
\left(
\begin{array}{cccc}
E\left[X_{11}\right]&E\left[X_{12}\right]&\quad\cdots\quad&E\left[X_{1n}\right]\\
E\left[X_{21}\right]&E\left[X_{22}\right]&\cdots&E\left[X_{2n}\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
E\left[X_{m1}\right]&E\left[X_{m2}\right]&\cdots&E\left[X_{mn}\right]\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
期待値行列2
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\bm{X}-E\left[\bm{X}\right]\;&=&\;\left(
\begin{array}{c}
X_1\\
X_2\\
\vdots\\
X_n
\end{array}
\right)\;-\;
\left(
\begin{array}{c}
E\left[X_1\right]\\
E\left[X_2\right]\\
\vdots\\
E\left[X_n\right]
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{c}
X_1\;-\;E\left[X_1\right]\\
X_2\;-\;E\left[X_2\right]\\
\vdots\\
X_n\;-\;E\left[X_n\right]
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
期待値行列3
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\sum_{ij}\;&=&\;\bm{E}\left[\big(X_i\;-\;E\left[X_i\right]\big)\big(X_j\;-\;E\left[X_j\right]\big)^T\right]\\
&=&\;\bm{E}\left[
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
X_1\;-\;E\left[X_1\right]\\
X_2\;-\;E\left[X_2\right]\\
\\
\vdots\\
\\
X_n\;-\;E\left[X_n\right]
\end{array}
\right)&
\Big(
X_1\;-\;E\left[X_1\right]\qquad X_2\;-\;E\left[X_2\right]\qquad \cdots\qquad X_n\;-\;E\left[X_n\right]
\Big)
\end{array}
\right]\\
\;&=&\;\bm{E}\left[
\begin{array}{cccc}
\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\;\;&\;\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\\
\\
\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\;\;&\;\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\;\;&\;\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)
\end{array}
\right]\\
\;&=&\;\left(
\begin{array}{cccc}
E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\;\;&\;\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\\
\\
E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\;\;&\;\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\;\;&\;\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
確立ベクトルの計算1
TeXコード
\begin{eqnarray*}
\bm{X}\;=\;
\left(
\begin{array}{c}
X_1\\
X_2\\
\\
\vdots\\
\\
X_n
\end{array}
\right)
\qquad\qquad
\bm{a}\;=\;
\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
a_2\\
\\
\vdots\\
\\
a_n
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\bf{A}\;=\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\quad&\quad A_{12}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{1n}\\
A_{21}\quad&\quad A_{22}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{2n}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}\quad&\quad A_{m2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
確立ベクトルの計算2
TeXコード
\begin{eqnarray*}
{\bf A}\bm{X}\;+\;\bm{b}\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\;\;&\;\;A_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{1n}\\
A_{21}\;\;&\;\;A_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{2n}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}\;\;&\;\;A_{m2}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
X_1\\
X_2\\
\\
\vdots\\
\\
X_n
\end{array}
\right)
\;+\;
\left(
\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\
\\
\vdots\\
\\
b_n
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;\left(
\begin{array}{ccccccc}
A_{11}X_{1}&\;+\;&A_{12}X_{2}&\;+\;&\cdots&\;+\;&A_{1n}X_{n}\\
A_{21}X_{1}&\;+\;&A_{22}X_{2}&\;+\;&\cdots&\;+\;&A_{2n}X_{n}\\
\\
&&&\vdots&&&\\
\\
A_{m1}X_{1}&\;+\;&A_{m2}X_{2}&\;+\;&\cdots&\;+\;&A_{mn}X_{n}\\
\end{array}
\right)\;+\;
\left(
\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\
\\
\vdots\\
\\
b_n
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{ccccccccc}
A_{11}X_{1}&\;+\;&A_{12}X_{2}&\;+\;&\cdots&\;+\;&A_{1n}X_{n}\:&\;+\;&\;b_1\\
A_{21}X_{1}&\;+\;&A_{22}X_{2}&\;+\;&\cdots&\;+\;&A_{2n}X_{n}\;&\;+\;&\;b_2\\
\\
&&&\vdots&&&&\\
\\
A_{m1}X_{1}&\;+\;&A_{m2}X_{2}&\;+\;&\cdots&\;+\;&A_{mn}X_{n}\;&\;+\;&\;b_n\\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
確立ベクトルの計算3
\begin{eqnarray*}
{\bf E}\left[{\bf A}\bm{X}\;+\;\bm{b}\right]\;&=&\;
\left(
\begin{array}{c}
E\left[A_{11}X_{1}\;+\;A_{12}X_{2}\;+\;\quad\cdots\quad\;+\;A_{1n}X_{n}\:\;+\;\;b_1\right]\\
E\left[A_{21}X_{1}\;+\;A_{22}X_{2}\;+\;\quad\cdots\quad\;+\;A_{2n}X_{n}\:\;+\;\;b_2\right]\\
\\
\quad\quad\vdots\\
\\
E\left[A_{m1}X_{1}\;+\;A_{m2}X_{2}\;+\;\quad\cdots\quad\;+\;A_{mn}X_{n}\:\;+\;\;b_n\right]\\
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{c}
A_{11}\:E\!\left[X_{1}\right]\;+\;A_{12}\:E\!\left[X_{2}\right]\;+\;\quad\cdots\quad\;+\;A_{1n}\:E\!\left[X_n\right]\;+\;b_1\\
A_{21}\:E\!\left[X_{1}\right]\;+\;A_{22}\:E\!\left[X_{2}\right]\;+\;\quad\cdots\quad\;+\;A_{2n}\:E\!\left[X_n\right]\;+\;b_2\\
\\
\vdots\\
\\
A_{m1}\:E\!\left[X_{1}\right]\;+\;A_{m2}\:E\!\left[X_{2}\right]\;+\;\quad\cdots\quad\;+\;A_{mn}\:E\!\left[X_n\right]\;+\;b_n\\
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\quad&\quad A_{12}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{1n}\\
A_{21}\quad&\quad A_{22}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{2n}\\
\\
\quad\quad\vdots\\
\\
A_{m1}\quad&\quad A_{m2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
E\left[X_1\right]\\
E\left[X_2\right]\\
\\
\vdots\\
\\
E\left[X_n\right]
\end{array}
\right)
\;+\;
\left(
\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\
\\
\vdots\\
\\
b_n
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
{\bf A}\:{\bm E}\left[\bm{X}\right]\;+\;\bm{b}
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
多変量確率ベクトルの分散共分散計算1
TeXコード
\begin{eqnarray*}
Var\left[{\bf A}{\bm X}\;+\;{\bm b}\right]\;&=&\;
{\bf E}\left[
\Big(
\left({\bf A}\bm{X}\;+\;\bm{b}\right)\;-\;{\bf E}\left[\left({\bf A}\bm{X}\;+\;\bm{b}\right)\right]
\Big)
\Big(
\left({\bf A}{\bm X}\;+\;{\bm b}\right)\;-\;{\bf E}\left[\left({\bf A}{\bm X}\;+\;{\bm b}\right)\right]
\Big)^T
\right]\\
\;&=&\;
{\bf E}\left[
\Big(
{\bf A}{\bm X}\;+\;{\bm b}\;-\;\left({\bf A}\:{\bm E}\left[{\bm X}\right]\;+\;{\bm b}\right)
\Big)
\Big(
{\bf A}{\bm X}\;+\;{\bm b}\;-\;\left({\bf A}\:{\bm E}\left[{\bm X}\right]\;+\;{\bm b}\right)
\Big)^T
\right]\\
\;&=&\;{\bf E}
\left[
\Big(
{\bf A}\bm{X}\;-\;{\bf A}\bm{E}\left[{\bm X}\right]
\Big)
\Big(
{\bf A}\bm{X}\;-\;{\bf A}\bm{E}\left[{\bm X}\right]
\Big)^T
\right]\\
\;&=&\;{\bf E}
\left[
{\bf A}\Big({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\Big)
\Big(
{\bf A}\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)
\Big)^T
\right]\\
\;&=&\;{\bf E}
\left[
{\bf A}\Big({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\Big)
\Big(
{\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]
\Big)^T{\bf A}^T
\right]\\
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
多変量確率ベクトルの分散共分散計算2
TeXコード
\begin{eqnarray*}
{\bf A}\Big({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\Big)
\Big(
{\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]
\Big)^T{\bf A}^T\;&=&\;{\bf A}
\left(
\begin{array}{cccc}
\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2A_{11}\;+\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)A_{12}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)A_{1n}\quad&\quad\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2A_{21}\;+\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)A_{22}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)A_{2n}&&\cdots\qquad\qquad\qquad\qquad\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2A_{m1}\;+\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)A_{m2}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)A_{mn}\\
\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)A_{11}\;+\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2A_{12}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)A_{1n}\quad&\quad\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)A_{21}\;+\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2A_{22}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)A_{2n}&&\cdots\qquad\qquad\qquad\qquad\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)A_{m1}\;+\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2A_{m2}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)A_{mn}\\
\\
\vdots&\vdots&\qquad\qquad\qquad\ddots\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\vdots\\
\\
\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)A_{11}\;+\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)A_{12}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2A_{1n}\quad&\quad\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)A_{21}\;+\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)A_{22}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2A_{2n}&&\cdots\qquad\qquad\qquad\qquad\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)A_{m1}\;+\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)A_{m2}\;+\quad\cdots\quad+\;\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2A_{mn}\\
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\;\;&\;\;A_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{1n}\\
A_{21}\;\;&\;\;A_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{2n}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}\;\;&\;\;A_{m2}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
P_{11}\;\;&\;\;P_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;P_{1m}\\
P_{21}\;\;&\;\;P_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;P_{2m}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
P_{n1}&P_{n2}&\cdots&P_{nm}
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}P_{11}+A_{12}P_{21}+\cdots+A_{1n}P_{n1}\quad&\quad A_{11}P_{12}+A_{12}P_{22}+\cdots+A_{1n}P_{n2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{11}P_{1m}\;+\;A_{12}P_{2m}+\cdots+A_{1n}P_{nm}\\
A_{21}P_{11}+A_{22}P_{21}+\cdots+A_{2n}P_{n1}\quad&\quad A_{21}P_{12}+A_{22}P_{22}+\cdots+A_{2n}P_{n2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{21}P_{1m}\;+\;A_{22}P_{2m}+\cdots+A_{2n}P_{nm}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}P_{11}+A_{m2}P_{21}+\cdots+A_{mn}P_{n1}&A_{m1}P_{12}+A_{m2}P_{22}\cdots+A_{mn}P_{n2}&\cdots&\quad A_{m1}P_{1m}+A_{m2}P_{2m}+\cdots+A_{mn}P_{nm}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
多変量確率ベクトルの分散共分散計算3
TeXコード
\begin{eqnarray*}
{\bf E}
\left[
{\bf A}\Big({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\Big)
\Big(
{\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]
\Big)^T{\bf A}^T
\right]
\;&=&\;
{\bf E}\left[\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}P_{11}+A_{12}P_{21}+\cdots+A_{1n}P_{n1}\quad&\quad A_{11}P_{12}+A_{12}P_{22}+\cdots+A_{1n}P_{n2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{11}P_{1m}\;+\;A_{12}P_{2m}+\cdots+A_{1n}P_{nm}\\
A_{21}P_{11}+A_{22}P_{21}+\cdots+A_{2n}P_{n1}\quad&\quad A_{21}P_{12}+A_{22}P_{22}+\cdots+A_{2n}P_{n2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{21}P_{1m}\;+\;A_{22}P_{2m}+\cdots+A_{2n}P_{nm}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}P_{11}+A_{m2}P_{21}+\cdots+A_{mn}P_{n1}&A_{m1}P_{12}+A_{m2}P_{22}\cdots+A_{mn}P_{n2}&\cdots&\quad A_{m1}P_{1m}+A_{m2}P_{2m}+\cdots+A_{mn}P_{nm}
\end{array}
\right)
\right]\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}E\left[P_{11}\right]+A_{12}E\left[P_{21}\right]+\cdots+A_{1n}E\left[P_{n1}\right]\quad&\quad A_{11}E\left[P_{12}\right]+A_{12}E\left[P_{22}\right]+\cdots+A_{1n}E\left[P_{n2}\right]\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{11}E\left[P_{1m}\right]\;+\;A_{12}E\left[P_{2m}\right]+\cdots+A_{1n}E\left[P_{nm}\right]\\
A_{21}E\left[P_{11}\right]+A_{22}E\left[P_{21}\right]+\cdots+A_{2n}E\left[P_{n1}\right]\quad&\quad A_{21}E\left[P_{12}\right]+A_{22}E\left[P_{22}\right]+\cdots+A_{2n}E\left[P_{n2}\right]\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{21}E\left[P_{1m}\right]\;+\;A_{22}E\left[P_{2m}\right]+\cdots+A_{2n}E\left[P_{nm}\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}E\left[P_{11}\right]+A_{m2}E\left[P_{21}\right]+\cdots+A_{mn}E\left[P_{n1}\right]&A_{m1}E\left[P_{12}\right]+A_{m2}E\left[P_{22}\right]\cdots+A_{mn}E\left[P_{n2}\right]&\cdots&\quad A_{m1}E\left[P_{m1}\right]+A_{m2}E\left[P_{2m}\right]+\cdots+A_{mn}E\left[P_{nm}\right]
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\;\;&\;\;A_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{1n}\\
A_{21}\;\;&\;\;A_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{2n}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}\;\;&\;\;A_{m2}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
E\left[P_{11}\right]\;\;&\;\;E\left[P_{12}\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[P_{1m}\right]\\
E\left[P_{21}\right]\;\;&\;\;E\left[P_{22}\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[P_{2m}\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
E\left[P_{n1}\right]&E\left[P_{n2}\right]&\cdots&E\left[P_{nm}\right]
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;{\bf A}\:{\bf E}\big[\;{\bf P}\:\big]\\
\;&=&\;{\bf A}{\bf E}\Big[
\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)^T{\bf A}^T
\Big]
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
多変量確率ベクトルの分散共分散計算4
TeXコード
\begin{eqnarray*}
{\bf E}
\left[
{\bf A}\Big({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\Big)
\Big(
{\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]
\Big)^T{\bf A}^T
\right]
\;&=&\;
{\bf E}\left[\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}P_{11}+A_{12}P_{21}+\cdots+A_{1n}P_{n1}\quad&\quad A_{11}P_{12}+A_{12}P_{22}+\cdots+A_{1n}P_{n2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{11}P_{1m}\;+\;A_{12}P_{2m}+\cdots+A_{1n}P_{nm}\\
A_{21}P_{11}+A_{22}P_{21}+\cdots+A_{2n}P_{n1}\quad&\quad A_{21}P_{12}+A_{22}P_{22}+\cdots+A_{2n}P_{n2}\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{21}P_{1m}\;+\;A_{22}P_{2m}+\cdots+A_{2n}P_{nm}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}P_{11}+A_{m2}P_{21}+\cdots+A_{mn}P_{n1}&A_{m1}P_{12}+A_{m2}P_{22}\cdots+A_{mn}P_{n2}&\cdots&\quad A_{m1}P_{1m}+A_{m2}P_{2m}+\cdots+A_{mn}P_{nm}
\end{array}
\right)
\right]\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}E\left[P_{11}\right]+A_{12}E\left[P_{21}\right]+\cdots+A_{1n}E\left[P_{n1}\right]\quad&\quad A_{11}E\left[P_{12}\right]+A_{12}E\left[P_{22}\right]+\cdots+A_{1n}E\left[P_{n2}\right]\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{11}E\left[P_{1m}\right]\;+\;A_{12}E\left[P_{2m}\right]+\cdots+A_{1n}E\left[P_{nm}\right]\\
A_{21}E\left[P_{11}\right]+A_{22}E\left[P_{21}\right]+\cdots+A_{2n}E\left[P_{n1}\right]\quad&\quad A_{21}E\left[P_{12}\right]+A_{22}E\left[P_{22}\right]+\cdots+A_{2n}E\left[P_{n2}\right]\quad&\quad\cdots\quad&\quad A_{21}E\left[P_{1m}\right]\;+\;A_{22}E\left[P_{2m}\right]+\cdots+A_{2n}E\left[P_{nm}\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}E\left[P_{11}\right]+A_{m2}E\left[P_{21}\right]+\cdots+A_{mn}E\left[P_{n1}\right]&A_{m1}E\left[P_{12}\right]+A_{m2}E\left[P_{22}\right]\cdots+A_{mn}E\left[P_{n2}\right]&\cdots&\quad A_{m1}E\left[P_{m1}\right]+A_{m2}E\left[P_{2m}\right]+\cdots+A_{mn}E\left[P_{nm}\right]
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\;\;&\;\;A_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{1n}\\
A_{21}\;\;&\;\;A_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{2n}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}\;\;&\;\;A_{m2}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
E\left[P_{11}\right]\;\;&\;\;E\left[P_{12}\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[P_{1m}\right]\\
E\left[P_{21}\right]\;\;&\;\;E\left[P_{22}\right]\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;E\left[P_{2m}\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
E\left[P_{n1}\right]&E\left[P_{n2}\right]&\cdots&E\left[P_{nm}\right]
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;{\bf A}\:{\bf E}\big[\;{\bf P}\:\big]\\
\;&=&\;{\bf A}{\bf E}\Big[
\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)^T{\bf A}^T
\Big]
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
多変量確立ベクトルの分散共分散計算5
式第1TeXコード
\begin{eqnarray*}
Var\left[{\bf A}{\bm X}\;+\;{\bm b}\right]\;&=&\;{\bf A}{\bf E}\Big[\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)^T{\bf A}^T\Big]\\
\;&=&\;
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\;\;&\;\;A_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{1n}\\
A_{21}\;\;&\;\;A_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{2n}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
A_{m1}\;\;&\;\;A_{m2}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;A_{mn}\\
\end{array}
\right)
{\bf E}\left[
\left(
\begin{array}{cccc}
P_{11}\;\;&\;\;P_{12}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;P_{m1}\\
P_{21}\;\;&\;\;P_{22}\;\;&\;\;\cdots\;\;&\;\;P_{m2}\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
P_{1n}&P_{2n}&\cdots&P_{mn}
\end{array}
\right)
\right]\\
\;&=&\;
{\bf A}
\left(
\begin{array}{cccc}
E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2\right]A_{11}\;+\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]A_{12}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]A_{1n}\quad&\quad E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2\right]A_{21}\;+\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]A_{22}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]A_{2n}&&\cdots\qquad\qquad\qquad\qquad E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2\right]A_{m1}\;+\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]A_{m2}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]A_{mn}\\
E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]A_{11}\;+\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2\right]A_{12}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]A_{1n}\quad&\quad E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]A_{21}\;+\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2\right]A_{22}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]A_{2n}&&\cdots\qquad\qquad\qquad\qquad E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]A_{m1}\;+\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2\right]A_{m2}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]A_{mn}\\
\\
\vdots&\vdots&\qquad\qquad\qquad\ddots\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\vdots\\
\\
E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]A_{11}\;+\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]A_{12}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2\right]A_{1n}\quad&\quad E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]A_{21}\;+\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]A_{22}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2\right]A_{2n}&&\cdots\qquad\qquad\qquad\qquad E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]A_{m1}\;+\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]A_{m2}\;+\quad\cdots\quad+\;E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2\right]A_{mn}\\
\end{array}
\right)
\\
\end{eqnarray*}
式第2TeXコード
\begin{eqnarray*}
\;&=&\;{\bf A}
\left(
\begin{array}{cccc}
E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2\right]\qquad\qquad&\qquad\qquad E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]\qquad\qquad&\qquad\qquad\cdots\qquad\qquad&\qquad\qquad E\left[\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]\\
E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\qquad\qquad&\qquad\qquad E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2\right]\qquad\qquad&\qquad\qquad\cdots\qquad\qquad&\qquad\qquad E\left[\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\right]\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\right]\qquad\qquad&\qquad\qquad E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\right]\qquad\qquad&\qquad\qquad\cdots\qquad\qquad&\qquad\qquad E\left[\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2\right]\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\qquad&\qquad A_{21}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{m1}\\
\\
A_{12}\qquad&\qquad A_{22}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{m2}\\
\vspace{4pt}
\\
\vdots\qquad&\vdots&\ddots&\qquad\vdots\\
\\
\vspace{4pt}
A_{1n}\qquad&\qquad A_{2n}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{mn}\\
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;{\bf A}{\bf E}\left[
\left(
\begin{array}{cccc}
\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)^2\qquad\qquad&\qquad\qquad \left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\qquad\qquad&\qquad\qquad\cdots\qquad\qquad&\qquad\qquad \left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\\
\\
\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\qquad\qquad&\qquad\qquad \left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)^2\qquad\qquad&\qquad\qquad\cdots\qquad\qquad&\qquad\qquad \left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\\
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\\
\left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_1\;-\;E\left[X_1\right]\right)\qquad\qquad&\qquad\qquad \left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)\left(X_2\;-\;E\left[X_2\right]\right)\qquad\qquad&\qquad\qquad\cdots\qquad\qquad&\qquad\qquad \left(X_n\;-\;E\left[X_n\right]\right)^2\\
\end{array}
\right)
\right]
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\qquad&\qquad A_{21}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{m1}\\
\\
A_{12}\qquad&\qquad A_{22}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{m2}\\
\vspace{2pt}
\\
\vdots\qquad&\vdots&\ddots&\qquad\vdots\\
\\
\vspace{2pt}
A_{1n}\qquad&\qquad A_{2n}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{mn}\\
\end{array}
\right)\\
\;&=&\;{\bf A}{\bf E}\left[
\left(
\begin{array}{c}
X_1\;-\;E\left[X_1\right]\\
\\
X_2\;-\;E\left[X_2\right]\\
\\
\vdots\\
\\
X_n\;-\;E\left[X_n\right]
\end{array}
\right)
\Big(
\begin{array}{ccccc}
X_1\;-\;E\left[X_1\right]\qquad&\qquad X_2\;-\;E\left[X_2\right]\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad X_n\;-\;E\left[X_n\right]
\end{array}
\Big)^T
\right]
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}\qquad&\qquad A_{12}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{1n}\\
\\
A_{21}\qquad&\qquad A_{22}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{2n}\\
\\
\vdots\qquad&\vdots&\ddots&\qquad\vdots\\
\\
A_{m1}\qquad&\qquad A_{m2}\qquad&\qquad\cdots\qquad&\qquad A_{mn}
\end{array}
\right)^T\\
\;&=&\;{\bf A}{\bf E}\left[\:\left({\bm X}\;-\;{\bm E}\left[{\bm X}\right]\right)\left(\:{\bm X}\;-\;{\bm E}\left[\:{\bm X}\:\right]\:\right)^T\:\right]{\bf A}^T
\end{eqnarray*}
TeX出力画像
多変量確率ベクトルの計算LaTeXコード置き場関連ページ
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