ラプラス変換で使ったLaTeXコード置き場。
このままコピペして作成できます。
なお以下のサイト様、
において、コードをそのままコピペすれば簡単に数式画像が作成されます。
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\:L\:}\left[\:1\:\right]\;&=&\;\int^{\infty}_{0}1\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\int^{\infty}_{0}\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\left[\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right]^{\infty}_{0}\nonumber\\
&=&\;-\frac{1}{s}\left(\:e^{-\infty}\;-\;e^{-0}\:\right)\nonumber\\
&=&\;\frac{1}{s}\nonumber\\
\end{eqnarray*}
$f\left(\:t\:\right)\;=\;t$
\[
F\left(\:s\:\right)\;=\;\mathcal{\:L\:}\left[\:f\left(\:t\:\right)\:\right]\;=\;\mathcal{\:L\:}\left[\:t\:\right]
\]
\begin{eqnarray*}
\mathcal{L}\left[\:t\:\right]\:=\:\frac{1}{s^2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F\left(\:s\:\right)\:&=&\:\int^{\infty}_{0}t\cdot e^{-st}\:dt\nonumber\\
&=&\:\left[\:t\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\:-\:\int^{\infty}_{0}\frac{dt}{dt}\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)dt\nonumber\\
&=&\:\qquad 0\qquad +\qquad\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\:dt\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow\qquad\mathcal{L}\left[\:t\:\right]\:=\:\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\:dt\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{L}\left[\:t\:\right]\:&=&\:\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\:dt\nonumber\\
&=&\:\frac{1}{s}\left[\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right]^{\infty}_{0}\nonumber\\
&=&\:-\frac{1}{s^2}\left(\:e^{-\infty}\;-\;e^{0}\:\right)\nonumber\\
&=&\:\frac{1}{s^2}\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{L}\left[\:t\:\right]\:=\:\frac{1}{s^2}
\end{eqnarray*}
$f\left(\:t\:\right)\;=\;t^2$
\[
F\left(\:s\:\right)\;=\;\mathcal{L}\left[\:f\left(\:t\:\right)\:\right]\;=\;\mathcal{\:L\:}\left[\:t^2\:\right]
\]
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\:L\:}\left[\:t^2\:\right]\;&=&\;\int^{\infty}_{0}t^2\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\left[\:t^2\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}-\int^{\infty}_{0}\frac{d\:t^2}{dt}\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)dt\nonumber\\
&=&\;0\;+\;\frac{1}{\;s\;}\int^{\infty}_{0}2t\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{2}{\;s\;}\int^{\infty}_{0}t\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{2}{\;s\;}\left\{\;\left[\:t\cdot\left(\:-\frac{1}{\;s\;}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d}{dt}t\cdot\left(\:-\frac{1}{\;s\;}e^{-st}\:\right)dt\;\right\}\nonumber\\
&=&\;\frac{2}{\;s\;}\left(\:\quad 0\quad \;+\;\frac{1}{\;s\;}\int^{\infty}_{0}e^{-st}dt\:\right)\nonumber\\
&=&\;\frac{2}{\;s^2\:}\int^{\infty}_{0}e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{2}{\;s^2\:}\left[\:-\frac{1}{\;s\;}e^{-st}\:\right]^{\infty}_{0}\nonumber\\
&=&\;-\frac{2}{\:s^3\:}\Big[\:e^{-\infty}\;-\;e^0\:\Big]\nonumber\\
&=&\;\frac{2}{\:s^3\:}\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\:F\:}\left(\:s\:\right)\;=\;\mathcal{\:L\:}\left[\:f\left(\:t\:\right)\:\right]\;=\;\mathcal{\:L\:}\left[\:t^2\:\right]\;=\;\frac{2}{s^3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\:L\:}\left[\:t^2\:\right]\;=\;\frac{2}{s^3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F\left(\:s\:\right)\;&=&\;\int^{\infty}_{0}t^3\cdote^{-st}dt\;\nonumber\\
&=&\;\left[\:t^3\cdot\left(\:-\frac{1}{\;s\;}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d}{dt}t^3\cdot\left(\:-\frac{1}{\;s\;}e^{-st}\:\right)dt\nonumber\\
&=&\qquad 0\qquad +\;\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}3t^2\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{3}{s}\left[\:\int^{\infty}_{0}t^2\cdot e^{-st}\:\right]\nonumber\\
&=&\;\frac{3}{s}\cdot\frac{2}{s^3}\nonumber\\
&=&\;\frac{3\cdot 2}{s^4}\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F\left(\:s\:\right)\;&=&\;\int^{\infty}_{0}t^4\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\left[\:t^4\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d\;t^4}{dt}\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)dt\nonumber\\
&=&\qquad 0 \qquad +\;\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}4t^3\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{4}{s}\left[\:\int^{\infty}_{0}t^3\cdot e^{-st}dt\:\right]\nonumber\\
&=&\;\frac{4}{s}\cdot\left(\:\frac{3\cdot 2}{s^4}\:\right)\nonumber\\
&=&\;\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot}{s^5}\nonumber\\
&=&\;\frac{4!}{s^5}\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\[
\Longrightarrow\qquad \mathcal{\:L\:}\left[t^n\right]\;=\;\frac{n!}{s^{n\;+\;1}}
\]
三角関数のラプラス変換
のラプラス変換
\[
\mathcal{\:L\:}\left[\:\sin\omega t\:\right]\;=\;\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega\:t\:dt
\]
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\:L\:}\left[\:\sin\omega t\:\right]\;&=&\;\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega\:t\:dt\nonumber\\
\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega\:t\:dt\;&=&\;\left[\:\sin\omega\:t\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d\:\sin\omega\:t}{dt}\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\nonumber\\
&=&\;\left[\:\sin\omega\:t\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d\:\sin\omega\:t}{dt}\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\nonumber\\
&=&\;\qquad 0 \qquad \;+\;\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\omega\cos\omega\:t\:dt\nonumber\\
&=&\;\frac{\omega}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot \cos\omega\:dt\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\[
\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega\:t\:dt\;=\;\frac{\omega}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot \cos\omega\:dt\nonumber\\
\]
のラプラス変換
\[
\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\;=\;\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot \cos \omega tdt
\]
\begin{eqnarray*}
\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot \cos \omega tdt\;&=&\;\left[\;\cos\omega t\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\;\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d\:\cos\omega t}{dt}\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)dt\nonumber\\
&=&\;\frac{1}{s}\;+\;\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}\left(\:-\omega\cdot\sin\omega t\:\right)\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{1}{s}\;-\;\frac{\omega}{s}\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega tdt\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
I\;&\equiv&\;\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega tdt\nonumber\\
&=&\;\left[\:\sin\omega t\cdot\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)\:\right]^{\infty}_{0}\;-\;\int^{\infty}_{0}\frac{d\:\sin\omega t}{dt}\left(\:-\frac{1}{s}e^{-st}\:\right)dt\nonumber\\
&=&\;\qquad 0 \qquad\;+\;\qquad\frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}\omega\cdot\cos\omega t\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\;\frac{\omega}{s}\int^{\infty}_{0}\cos\omega t\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\[
\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega tdt\;=\;\frac{\omega}{s}\int^{\infty}_{0}\cos\omega t\cdot e^{-st}dt\nonumber\\
\]
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\;=\;\frac{1}{s}\;-\;\frac{\omega}{s}\left(\:\int^{\infty}_{0}e^{-st}\cdot\sin\omega tdt\:\right)\nonumber\\
=\;\frac{1}{s}\;-\;\frac{\omega}{s}\left(\:\frac{\omega}{s}\int^{\infty}_{0}\cos\omega t\cdot e^{-st}dt\:\right)\nonumber\\
=\;\frac{1}{s}\;-\;\frac{\omega}{s}\left(\:\frac{\omega}{s}\cdot\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\:\right)\nonumber\\
=\;\frac{1}{s}\;-\;\frac{\omega^2}{s^2}\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(\:1 \;+\;\frac{\omega^2}{s^2}\:\right)\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\;&=&\;\frac{1}{s}\nonumber\\
\frac{s^2\;+\;\omega^2}{s^2}\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\;&=&\;\frac{1}{s}\nonumber\\
\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\;&=&\;\frac{s^2}{s^2\;+\;\omega^2}\frac{1}{s}\nonumber\\
\end{eqnarray*}
\[
\mathcal{\:L\:}\left[\:\cos\omega t\:\right]\;=\;\frac{s}{s^2\;+\;\omega^2}\nonumber\\
\]
ラプラス変換コード置き場関連ページ
- 確率密度関数と変数変換LaTeXコード置き場
- 確率密度関数と変数変換で使われたLaTeXコード置き場になります。このままコピペしてLaTeXのdocument間に貼ってコンパイルすればDVIファイルとして出力できます。またTeXclip様のところでもそのまま張り付ければすぐにping画像が生成できます。ただし近年悪質な盗用サイトが一部において散見されるので参考にする場合は紹介リンクを貼るなどの対応は必ずお願いいたします。
- 多変量確率ベクトルの計算LaTeXコード置き場
- 数理統計学のコンテンツ「多変量確率ベクトルの計算」で使われたTeXコード置き場になります。実際に出力してエラー対応済みなのでそのままコピペしてLaTeXコンバートやTeXClip様のところで貼り付けてコンバートすればすぐに使用できます。ただし使用する場合はバックリンクなどを必ずお願いいたします。
- 分散共分散行列LaTeXコード置き場
- 数理統計学のコンテンツ「分散共分散行列」で使われたTeXコード置き場になります。実際に出力してエラー対応済みなのでそのままコピペしてLaTeXコンバートやTeXClip様のところで貼り付けてコンバートすればすぐに使用できます。ただし使用する場合はバックリンクなどを必ずお願いいたします。
- ベクトル解析コード
- 当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 数学分野に関しての趣旨としては、通常のテキストでは割愛されてしまう内容などを詳しく記述し、さらには難しい説明をするのではなく、わかりにくい内容をいかにわかりやすく伝えるか━など、そういったウェブコンテンツならではの利便性と機動性を生かしたサイト作成を主眼としています。
