数理統計学

変数変換によって作られた確率密度関数を求める方法については、確率変数の変換によって求めるための公式があり、この公式を用いることで目的の確率密度関数を求めることができる。

確率密度

確率変数を、実現値（実数）をで表現することにする。

仮に２つの実数として、はだとすると、

ここでをの累積分布関数（cumulative distribution function）として、この累積分布関数を次のように定義することにする。

ここまで累積分布関数となる場合の確率なので今度はとなる次のようなの確率、

を考えて（とならない）これを密度関数とする。
これを全域にわたって考えれば、

分布関数と先ほどの密度関数との関係は以下のようになる。

確率密度関数

連続確率分布において以下のような確率密度関数が存在する。

ここでさらに累積分布関数はがという数値以下の値をとる確率と考えると、

確率密度関数をからで積分したものがという分布関数になる。

微分積分学の基本定理により以下、

が成り立つ。

以上により連続型確率変数の累積分布関数は確率密度関数が存在する場合、の分布関数は以下のように表現される。

さらに位置となるような連続性がある場合と考え、また、微分積分学の第一基本定理より、累積分布関数をで微分すれば上記確率密度関数は以下のようにできる。

の周辺確率分布関数

この分布関数を今度はについて考えると先ほどのの分布関数における考察を踏襲すれば、の分布関数は、

さらにここである関数を考えてそれを次のように置くことにする。

上記関数に関してはそれぞれの変数に対応する逆関数、

なる逆写像関数が存在するものだとここからは考えればいい。

以上をもってにおける周辺確率分布を求めていく。

さらにここではの要素と考えられ、

これにより、

変数変換

から、より、

これより、

というような式変形による積分式が求まるのでこれをで微分（微分型に）すると、まず微分をプライムで表している部分をライプニッツ表記にすれば次のようなる。

形からしてそのまま積分部分を外せばいいが参考程度にあえて回りくどいやり方をすれば以下のような計算過程になる。

よって確率密度関数における周辺確率密度関数は以下のようになる。

より元に戻せば、

からの周辺確率密度関数の意味

上式についてはの周辺確率密度関数を求めるということにおいての周辺確率密度関に対してその座標系が変化した分の部分を考慮するためにというのが付随するといったことを意味していることになり、これは確率範囲を微小面積でとらえられていると考えた場合、その面積範囲が各々の周辺確率密度の面積だとすればからへの周辺密度へ変換していった場合の座標変換における面積要素（一変数）変換の変換率だととらえればいいらしく、これは当ドメインのサテライトサイト（よくわかる慣性モーメント）でもよく使われている変数変換ヤコビアン（関数行列式）のことにあたるらしい。

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ヤコビアンと変数変換

上記のの周辺密度関数は一変数における周辺密度関数になるがこれが2変数以上の多変量になったものを考える場合、ヤコビアンに当たる部分に絶対値をつけることが必要になるとのこと。これは対応（変化）させる座標空間を同じ座標軸上に合わせるということを意味しているらしい。

参考サイト

数学の景色 様

重積分の変数変換の方法とその例題〜極座標変換の解説付き〜

先ほどから重複しているようにという関数は連続微分可能の逆関数を持つとしているのでここでの各要素をの各要素で偏微分したヤコビアンをと置けば次のような関数行列式（ヤコビアン）が考えられることになる。

ここで上記ヤコビアンに対しては多変量になるとそのヤコビアンには絶対値がつくので、

といった表記になると思うが上記式に関しては一般的ではなく意味的にややこしいのでひとまず次のようにおくことにする。

この表記に関してはあくまでこのサイトのみでの（自分自身でわかりやすくするための）表現になるのであまり参考にしないように。
詳しくは上記の書籍新装改訂版　現代数理統計学 [ 竹村　彰通 ]を参照するように。

なので以上によりからの周辺確率密度関数を導く場合、一変数に関しては、

が導かれ、それが多変量の場合になると、

より、

これに関してで積分すれば重積分の変数変換公式（詳しくは新装改訂版　現代数理統計学 [ 竹村　彰通 ]を参照）になることがわかる。
ただし重複するが上記表現はあくまで当サイトでの自分自身でわかりやすいように独自で表現してあるだけなのでそのへんのところは勘違いしないように。

確率密度関数と変数変換関連ページ

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当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 数理統計学−このコンテンツでは多変量解析において重要な考え方になる変数変換によるヤコビアン（関数行列式）について考察し、多次元における座標変換でその幾何学的な意味を導いていきます。

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