数理統計学

確率密度関数と変数変換

確率密度関数と変数変換

変数変換によって作られた確率密度関数を求める方法については、確率変数の変換によって求めるための公式があり、この公式を用いることで目的の確率密度関数を求めることができる。

 

確率密度

確率変数を確率変数X、実現値(実数)を確率密度変数xで表現することにする。

 

仮に2つの実数として任意の実数x1任意の実数x2任意の実数x1x2だとすると、

 

任意の実数x1x2の大なり小なり

 

任意の実数x1x2の大なり小なり

 

任意の実数x1x2の大なり小なり

 

ここで累積分布関数累積分布関数の変数Xの累積分布関数(cumulative distribution function)として、この累積分布関数を次のように定義することにする。

累積分布関数の定義範囲

 

ここまで累積分布関数累積分布関数の定義範囲となる場合の確率なので今度は累積分布関数X=xとなる次のような累積分布関数xの確率、

累積分布関数X=x

 

を考えて(P(X=x)≠0とならない)これを密度関数とする。
これを全域にわたって考えれば、

密度関数のインテグラル

 

分布関数と先ほどの密度関数との関係は以下のようになる。

密度関数の関係性

密度関数の関係性jの範囲

確率密度関数

連続確率分布において以下のような確率密度関数連続確率密度関数f(x)が存在する。

 

連続確率密度関数f(x)の定義

連続確率密度関数f(x)の定義

 

ここでさらに累積分布関数は確率変数X確率密度変数xという数値以下の値をとる確率と考えると、

 

累積分布関数ー確率変数Xがxいかになる確率を定義した関数になる

 

確率密度関数連続確率密度関数f(t)-∞からxで積分したものが累積分布関数という分布関数になる。

 

微分積分学の基本定理により以下、

確率密度関数

累積分布関数を微分したもの

累積分布関数

確率密度関数を積分したもの

が成り立つ。

 

以上により連続型確率変数の累積分布関数は確率密度関数が存在する場合、確率密度変数xの分布関数累積分布関数は以下のように表現される。

確率密度関数

 

さらに位置位置xとなるような連続性がある場合と考え、また、微分積分学の第一基本定理より、累積分布関数を位置xで微分すれば上記確率密度関数は以下のようにできる。

微分積分学の第一基本定理

Yの周辺確率分布関数の周辺確率分布関数

この分布関数を今度はYの周辺確率分布関数について考えると先ほどの確率密度変数xの分布関数累積分布関数における考察を踏襲すれば、Yの周辺確率分布関数の分布関数Yの周辺確率分布関数は、

Yの周辺確率分布関数

 

さらにここである関数変換関数gを考えてそれを次のように置くことにする。

変換関数Y=g(x)

 

上記関数に関してはそれぞれの変数に対応する逆関数、

逆写像関数X=g^{-1}(Y)

なる逆写像関数が存在するものだとここからは考えればいい。

以上をもってYの周辺確率分布関数における周辺確率分布を求めていく。

 

変数Yの周辺確率密度関数

 


変数Yの周辺確率密度関数

変数Yの周辺確率密度関数

Yの周辺確率分布関数

 

さらにここで確率変数X確率密度変数xの要素と考えられ、

 

X∈x

 

これにより、

確率変数Yの周辺確率密度関数

 

確率変数Yの周辺確率密度関数

 

確率変数Yの周辺確率密度関数

変数変換

確率変数Yの変数変換から、確率変数Yの変数変換より、

 

確率変数Yの変数変換

 

確率変数Yの変数変換

 

これより、
確率変数Yの周辺確率密度関数

 

確率変数Yの周辺確率密度関数

 

確率変数Yの周辺確率密度関数

というような式変形による積分式が求まるのでこれを確率変数Yで微分(微分型に)すると、まず微分をプライムで表している部分をライプニッツ表記にすれば次のようなる。

 

確率変数Yの周辺確率密度関数の微分

 

形からしてそのまま積分部分を外せばいいが参考程度にあえて回りくどいやり方をすれば以下のような計算過程になる。
確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算過程

確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算過程

 

確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算過程

確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算過程

確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算過程

 

よって確率密度関数確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算過程における周辺確率密度関数は以下のようになる。

確率変数Yの周辺確率密度関数の微分計算結果

 

yの逆写像関数より元に戻せば、

yの周辺確率密度関数

xの周辺確率密度関数からyの周辺確率密度関数の周辺確率密度関数の意味

上式についてはyの周辺確率密度関数の周辺確率密度関数を求めるということにおいてxの周辺確率密度関数の周辺確率密度関に対してその座標系が変化した分の部分を考慮するためにdx/dyというのが付随するといったことを意味していることになり、これは確率範囲を微小面積でとらえられていると考えた場合、その面積範囲が各々の周辺確率密度の面積だとすればxの周辺確率密度関数からyの周辺確率密度関数への周辺密度へ変換していった場合の座標変換における面積要素(一変数)変換の変換率だととらえればいいらしく、これは当ドメインのサテライトサイト(よくわかる慣性モーメント)でもよく使われている変数変換ヤコビアン(関数行列式)のことにあたるらしい。

ここより以下書籍を参考にしています↓

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ヤコビアンと変数変換

上記のYの周辺密度関の周辺密度関数yの周辺確率密度関数は一変数における周辺密度関数になるがこれが2変数以上の多変量になったものを考える場合、ヤコビアンに当たる部分に絶対値をつけることが必要になるとのこと。これは対応(変化)させる座標空間を同じ座標軸上に合わせるということを意味しているらしい。

 

参考サイト
数学の景色 様

重積分の変数変換の方法とその例題〜極座標変換の解説付き〜

 

先ほどから重複しているように関数g(x)という関数は連続微分可能の逆関数逆関数g^{-1}(x)を持つとしているのでここで変数xの各要素を変数yの各要素で偏微分したヤコビアンをヤコビアンと置けば次のような関数行列式(ヤコビアン)が考えられることになる。

 

ヤコビアン


ヤコビアン

 

ヤコビアン

ここで上記ヤコビアンに対しては多変量になるとそのヤコビアンには絶対値がつくので、

 

ヤコビアン

 

といった表記になると思うが上記式に関しては一般的ではなく意味的にややこしいのでひとまず次のようにおくことにする。

 

ヤコビアン

 

この表記に関してはあくまでこのサイトのみでの(自分自身でわかりやすくするための)表現になるのであまり参考にしないように。
詳しくは上記の書籍新装改訂版 現代数理統計学 [ 竹村 彰通 ]を参照するように。

なので以上によりxの周辺確率密度関数からyの周辺確率密度関数の周辺確率密度関数を導く場合、一変数に関しては、

yの周辺確率密度関数

が導かれ、それが多変量の場合になると、

 

yの周辺確率密度関数

 

より、

yの周辺確率密度関数

 

これに関してyの周辺確率密度関数で積分すれば重積分の変数変換公式(詳しくは新装改訂版 現代数理統計学 [ 竹村 彰通 ]を参照)になることがわかる。
ただし重複するが上記表現はあくまで当サイトでの自分自身でわかりやすいように独自で表現してあるだけなのでそのへんのところは勘違いしないように。



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