2013年9月1日

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物体（剛体）の回転に関する物理的特性を示す用語で“慣性モーメント”というのがありますが、それに関連する内容で“平行軸の定理”というのがあります。

 

これは物体の軸に関しての慣性モーメントがわかっているとき、これに平行な位置における軸に関しての慣性モーメントを求めるとき使われる計算法になります。

 

慣性モーメントの詳しい説明はこちら

 

任意の点0を通る軸の周りの慣性モーメントの計算

重心を通る１つの軸があるとし、それを軸として、軸の周りの剛体の慣性モーメントをとします。この軸に平行での距離を隔てた軸まわりの慣性モーメントを考えます。

の式を積分の形にすれば

0の周りのモーメントは、

ここでを質量中心の座標とします。
積分の第２項は質量中心を通り、軸に平行な軸周りの慣性モーメントであり、これをとします。
質量中心より回転の中心0までの距離をとすると となります。

 

さらに第３項の及びは質量中心の定義においてゼロ。
以上の結果より、慣性モーメントとして、

すなわち が導かれます。
つまり、軸の重心を通るときの慣性モーメントがわかっていればその軸に関して平行に移動したところの慣性モーメントが、上記式の右辺第2項を足しさえすれば求まるということになります。

くり抜き円盤の慣性モーメントの求め方

 

上の絵の左側の斜線なしの部分は、元の円盤（半径）から半径の部分をくりぬいたものと考えてください。
中心を、半径の円盤から、その半径を直径とする円をくり抜いた残りの部分のを通り、円盤に垂直な軸に関する慣性モーメントを求めます。
考える剛体を、くり抜く円を、軸を軸とし、くり抜く前の円盤剛体をとします。

円をくり抜く前の円盤の軸周りの慣性モーメントを、考える剛体における軸周りの慣性モーメントを、さらにくり抜いた円盤剛体の軸周りの慣性モーメントをとします。

 

まず慣性モーメントの定義により次のような式が成り立ちます。

これを変形させると、

次にを考えます。円をくり抜く前の円盤の質量をとすると、面積密度は、微小面積は平面極座標を使えば、

となるので、微小部分の質量は

になります。

これらをもとに式を作って計算します。

次にを考えます。の部分の質量はであり、このを求めるためにの中心を通り、に垂直な軸周りの慣性モーメントを求めます。
面積密度は、微小面積、そして軸からの距離はであるので、は

ここで求めたい慣性モーメントはと軸が平行で、距離がだけ離れています。
そこで先ほどの平行軸の定理を使用します。

よってはより

解答としてはこんな感じになるでしょうか。

先日インターネット掲示板において、このくり抜き円盤の質問をたまたま見つけたのですが、もともとサテライトサイト“よくわかる慣性モーメント”というWebサイトを運営しているので今回取り扱ってみました。

 

当初、こういったやり方は絶対しつこいと思われるだろうなって感じでやっていたのですが、実はこれは“ロングテール”という方法らしく、知らず知らずのうちに専門的なSEO対策をしていたのだそうです。

くり抜き円盤の慣性モーメント関連ページ

平行軸定理と慣性モーメント

平行軸の定理と慣性モーメントの話。慣性モーメントとは物体（剛体）の回転のしづらさ、回りだす変化のしにくさを示す物体の物理的な特性のことだと考えることができるでしょう。またさらに別の言い方をすれば回転の方程式といえるかもしれません。このエントリーでは円錐の慣性モーメントを例にして説明していきます。

円錐の慣性モーメントの導出

円錐に関する慣性モーメントの計算と考察。 任意高さにおける円錐中の円盤とみなした部分を相似関係によって求め目的とする円錐の慣性モーメントを求めていきます。

可逆・不可逆のエントロピー

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コンプトン散乱�A

外郭軌道電子との衝突によりエネルギーの減少した散乱光子をコンプトン散乱光子と呼び、さらにはこのような散乱をコンプトン散乱効果などと言ったりします。

コンプトン散乱�@

コンプトン散乱とは、光子がターゲットとなる原子の外殻軌道電子と衝突して衝突前後においてエネルギーの変化を起こさせ、光子が持っている運動エネルギーを軌道電子に与えて外殻の軌道電子を原子の外に飛び出させる現象を主に言います。

光電効果とコンプトン効果

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エントロピー増大測

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エントロピー

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クエーサーとブラックホール

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コリオリ弾軌道計算-補遺

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