ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

ガウス積分

ガウス積分

正規分布関数

無限区間における積分で俗にガウス積分と言われるものがあります。

 

下図は指数関数を描画したものです。

ガウス積分

この関数をからの範囲において積分を実行すればどうなるでしょうか?

 

その答えを単刀直入に書くと次のようになります。

ガウス積分

はじめて見たひとは多分驚くかと思いますが確かにこういう結果がまかり通っております。そのためこの積分のことを、ガウスのインチキ積分などといったりするものがたまにいます。

 

ここでは私が大学で受けたときの自分の講義ノートを参考に説明したいと思います。

 

まず積分する範囲をIと置きましょう。そのIを2乗したものに対して極座標、

変数変換,,ガウス積分,ブラックショールズ,微分積分,ガウシアン,正規分布関数

を適用しますが、ここで、

ガウス積分

としても同じ値(積分領域)であるということはわかりますよね?

 

なので次のように表現できることになります。

ガウス積分

ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分

ここでを微分すると(変数変換をして)、

これにより

なのでこれを使って、

ガウス積分

ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分



ガウス積分

 

Iは正なので変数変換,,ガウス積分,ブラックショールズ,微分積分,ガウシアン,正規分布関数 よって、

ガウス積分

となります。
変数変換,,ガウス積分,ブラックショールズ,微分積分,ガウシアン,正規分布関数

 

nextupprevious

ガウス積分関連ページ

導関数
このチャプターではBSモデル導出の際において必須分野になる微分積分学の導関数の概念などを説明します。ブラックショールズモデルとは、金融派生商品を取り扱う際において、その理論的価格を決定する際に幅広く用いられている数式モデルのことを指します。当サイトではこのブラックショールズモデルを導出する場合おいて用いられる数理計算過程のみならず、その導出の前提に最低限必要になる微分積分などの基本的な数学分野も解説したサイトになっており、文系出身の方の理解の助けになるようなるべく踏み込んだ説明をするよう心掛けたつくりになっています。
合成関数の微分
このチャプターではBSモデル導出の際において基本的な分野になる偏微分や合成関数微分・全微分、さらには部分積分・置換積分、そして肝になる部分のガウス積分などの詳細な説明を加えたコンテンツ構成になっています。ブラックショールズモデルとは、金融派生商品を取り扱う際において、その理論的価格を決定する際に幅広く用いられている数式モデルのことを指します。当サイトではこのブラックショールズモデルを導出する場合おいて用いられる数理計算過程のみならず、その導出の前提に最低限必要になる微分積分などの基本的な数学分野も解説したサイトになっており、文系出身の方の理解の助けになるようなるべく踏み込んだ説明をするよう心掛けたつくりになっています。
対数微分
このページではBSモデル導出の際において基本的な分野になる微分積分学の重要な要素である対数微分について解説いたします。対数微分法とは両辺の対数をとることから名づけられた微分法であり、この微分を行うとき先ほどのコンテンツ合成関数の微分法において示された考え方(チェーンさせる)が重要になります。さらにこの方法は積分計算において置換積分を行うときにも使われることがあるのでしっかりマスターできるようにしましょう。
偏微分
このページではBSモデル導出の際において基本的な分野になる微分積分学の重要な要素、偏微分・偏導関数について説明します。偏微分とは方程式の中において変数が2つや3つある場合に関して、ある変数を微分するときは他の変数は定数とみなして微分していく方法になります。さらに合成関数において偏微分・偏導関数を導く方法を詳細に解説いたします。
全微分
このページではBSモデル導出の際において基本的な分野になる微分積分学の重要な要素、全微分について、その考えたかや計算方法を解説します。全微分とは方程式の中において変数が2つや3つある場合の際に関して、すべての変数を微少量動かしたときの一次近似での関数の変化量を把握する計算技術になります。この知識を身につけることにより、微分学においてより具体的に踏み込んだ深い理解と知識を得ることになるでしょう。
一変数関数の積分
このチャプターではBSモデル導出の際において基本的な分野になる偏微分や合成関数微分・全微分、さらには部分積分・置換積分、そして肝になる部分のガウス積分などの詳細な説明を加えたコンテンツ構成になっています。ブラックショールズモデルとは、金融派生商品を取り扱う際において、その理論的価格を決定する際に幅広く用いられている数式モデルのことを指します。当サイトではこのブラックショールズモデルを導出する場合おいて用いられる数理計算過程のみならず、その導出の前提に最低限必要になる微分積分などの基本的な数学分野も解説したサイトになっており、文系出身の方の理解の助けになるようなるべく踏み込んだ説明をするよう心掛けたつくりになっています。
置換積分
このページではBSモデル導出の際において基本的な分野になる微分積分学の重要な要素、一変数関数の積分分野の置換積分について基本的な知識と概念を簡単に説明いたします。積分の計算というのは、主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。例えば複数の関数によって構成されている方程式においてその求積分の仕方はどうすればよいでしょうか?こういったものの場合、ほかのある変数で置き換える(置換)という作業をして求めていくことになります。
部分積分
このページではBSモデル導出の際において基本的な分野になる微分積分学の重要な要素、一変数関数の積分分野の部分積分について基本的な知識と概念を簡単に説明いたします。積分の計算というのは、主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。部分積分とは、2つの微分可能な積分に対し、原始関数を求めるなどしながら部分積分公式を当てはめて積分の解を求めるといったものになります。

ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 微分積分学 微分方程式 フーリエ解析 境界値問題 B-S偏微分方程式