微分積分学

無限区間における積分で俗にガウス積分と言われるものがあります。

下図は指数関数を描画したものです。

この関数をからの範囲において積分を実行すればどうなるでしょうか？

その答えを単刀直入に書くと次のようになります。

はじめて見た方は多分驚くかと思いますがこういう結果が確かにまかり通っています。
そのためこの積分のことを、ガウスのインチキ積分などといったりするものがたまにいます。

ここでは大学で受けたときの自分の講義ノートを参考に説明したいとおもいます。

まず積分する範囲をと置きます。

そのを２乗したものに対して極座標、

を適用しますが、ここで、

としても同じ値（積分領域）であるということはわかります。

ですので次のように表現できることになります。

ここでを微分すると（変数変換をして）、

これにより

なのでこれを使って、

となるのでIの2乗は次のように求まります。

は正なので

よって、

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