微分積分学

部分積分

【部分積分法】

公式としては次のようになります。

Integration by parts formula

 

 

Integration by parts formulaの右上についているIntegration by parts formulaという記号は一回微分したという意味です。

 

具体的に表せば次のような構造になっています。

 

 

Integration by parts formula

 

 

2つの関数が積の形になっているものでその左辺のどちらかの関数を微分してある関数と考えて右辺に書かれているような形におくという作業をします。

 

以下に示す例題において実際にやってみると次のようになります。

 

部分積分

 

xgにあたり、部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分に相当します。
なのでまず部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分を求めなければならないので部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分を積分します。

 

部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分

 

これを部分積分の公式に入れていくと、

 

部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分

 

部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分

部分積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,部分積分

【例題1】

 

次に示す対数関数を部分積分によって求めてみましょう。

 

log x

 

上記式では先ほどの公式の部分に対応するはずのf prime xおよびg function xのどちらかにあたるであろうと思われる部分が一つだけかけています。

 

こうしたときf prime xに相当する部分、すなわち微分した後の数値として式なのかに“1”があるとし、次のように求める積分式を置きます。

 

部分積分

 

 

上記の式においてはf prime xに相当する部分が“1”で、g function xに相当する部分が元から示されていたlog xになります。

 

なのでこれらを公式に当てはまていけば、

 

部分積分

 

部分積分

部分積分

部分積分

部分積分

 

となるのでlog xの積分は以下のような結果を得ます。

 

 

部分積分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例題2】

部分積分

 

公式をあてはめて問題を解いていきます。

 

部分積分

 

 

部分積分

部分積分

部分積分

 

となるので、さらに右辺第2項に対して部分積分を施します。

 

 

 

部分積分

部分積分

部分積分

部分積分

 

よって答えは次のようになります。

 

部分積分

なお途中の対数関数の2乗の微分は合成関数微分の方法を利用して次のように導いています。

 

対数関数微分

 

対数関数微分

 

対数関数微分

 

対数関数微分

【問題】

次の不定積分を部分積分を使って計算してみましょう。

 

三角関数、指数関数積分

 

 

【答え】

 

三角関数、指数関数積分


 

三角関数、指数関数積分

三角関数、指数関数積分

 

ここで三角関数、指数関数積分三角関数、指数関数積分と置きます。

 

すると、

 

三角関数、指数関数積分

 

三角関数、指数関数積分

三角関数、指数関数積分

 

よって答えは次のようになります。

 

三角関数、指数関数積分

【定積分】
例題

次に示すような三角関数を含んだπから―πまでの定積分を求めみましょう。

 

三角関数、指数関数積分

 

ここでも部分積分法を使います。

 

三角関数部分積分

 

三角関数部分積分

三角関数部分積分

三角関数部分積分

 

 

三角関数部分積分

ちなみにsinの性質上、sin pi0です。

 

sin pi/2だと1になります。

 

こういったことは記憶ではなく、頭の中に次に示すような単位円を思い浮かべるとわかりやすいかと思います(理由は自分で考えてみましょう)。

 

単位円画像

nextupprevious

ブログランキング・にほんブログ村へ

部分積分関連ページ

導関数
このセクションでは導関数の基本的な考え方とその計算方法について考察していきます。
合成関数の微分
微分積分学において重要な概念である合成関数の概念とその微分方法に関して考察していきます。
対数微分法
対数微分法とは両辺の対数をとることから名づけられた微分法であり、この微分を行う場合、合成関数の微分を実行する際に用いられた連鎖律という考え方が重要になります。
偏微分
微分積分学−ブラックショールズ偏微分方程式を導くための偏微分に関して考察していきます。1つの式の中に2つの変数が入っているある関数に対しての微分h棒法について考察していきます。
全微分
全微分とはすべての変数を微少量動かしたときの一次近似での関数の変化量を表します。このセクションでは全微分におけるその考え方と具体的な計算方法について考察していきます。
一変数関数の積分
当サイトはこのブラックショールズ偏微分方程式の導出家庭だけではなくそれらを導くための初等数学からを丁寧に解説したサイトになります。このチャプターでは基本となる分野になる微分積分に関して簡単に説明していきます。
置換積分
間瀬宇鵜の積分というのは主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。このチャプターではこの地間瀬積分について官憲つに説明していきます。
ガウス積分
当サイトはこのブラックショールズ偏微分方程式の導出家庭だけではなくそれらを導くための初等数学からを丁寧に解説したサイトになります。このチャプターでは基本となる分野になる微分積分に関して簡単に説明していきます。

ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 線形代数 ベクトル解析 慣性モーメント 解析力学 微分方程式 NEへの道しるべ