微分積分学

対数微分法

対数微分法

対数微分法とは両辺の対数をとることから名づけられた微分法であり、この微分を行うとき先ほどの考え方(チェーンさせる)が重要になります。
ちなみにこの方法は積分計算において置換積分を行うときにも使われることがあるのでしっかりマスターできるようにしましょう。
以下のような関数を微分することを考えてみます。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,微分積分,対数微分法

 

 

aが定数でxのほうが微分するほうの変数です。

 

このような場合、両辺に対数の対数をとることから考えるので、まずこの式をtとおきます。

 

 

対数

そして両辺の対数をとります。

 

対数微分法

 

すると対数の性質により右辺は、

 

合成関数の微分方法

 

となります。

 

これの両辺をxで微分します。

 

対数微分法

左辺をtでループさせます。

対数微分法

 

これにより左辺の対数微分法対数微分法で微分できるようになるので次のようになります。

 

 

対数微分法

 

 

右辺のtを元に戻せば次のように解が求まります。

 

対数微分法

問題

次に示す関数の導関数を求めてみましょう。

 

対数微分法

答え

問題対数微分法

 

まず対数微分法対数微分法と置いてそれの両辺に関しての対数を次のように取ります。

 

対数微分法

 

この時左辺は対数微分法でループし、右辺は積の微分を施します。

 

対数微分法

対数微分法

 

tを元に戻せば、

 

対数微分法

 

両辺に対数微分法をかければ以下のように求まります。

 

対数微分法

問題(2)

先ほどの問題と同じようにtと置いてそれの両辺の対数を取ります。

対数微分問題

 

 

これにより上記式右辺は対数の性質により以下のように変形されます。

 

対数微分問題

同じように左辺はtでループさせ右辺はxによる対数の微分を施します。

 

対数微分問題

 

 

右辺第一項の計算

合成関数の微分を考えるので次のように置換します。

 

対数微分問題

 

対数微分問題

 

対数微分問題

第二第三項の計算も同じような計算法で答えはすぐ出てきます。

 

結果のみを示すと、

 

 

対数微分問題

tを移動させて、

 

 

対数微分問題

 

 

tを元に戻せば以下のように解が求まります。

 

対数微分問題

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