微分積分学

　−　すべての変数を微少量動かすということ

を微少量だけ動かす。

すると、一次近似より、

となります。

ここでこのときの関数の変化量をと書くならば、

となります。
これを関数の全微分といいます。

2変数の場合

の変数を微少量動かしてみます。

すると一次近似では、

３変数でも同じように、

ここで簡単な例題を考えてます。
ある２変数関数があったとします。その変数はさらに変数によって示されるものとします。

このときの微小変化量は、それぞれ、

になります。

まず、に対する全微分は、

なので、この式に先ほどの(1.1)の式を代入します。

または、

となります。

また、関数が変数で表されている次のというような場合は、

ここで、から

なのでこれを代入すると、

となります。

【問題】

ある２変数関数があります。

この関数における変数はそれぞれ次のように表せるとします。

このとき、を求めてみましょう。

【答え】

まず、の式を微分します。

そして、の式に関してそれぞれとで偏微分します。

ここで、

に代入すれば、

以上の考え方をさらに発展させてみましょう。

においてが変数にそれぞれ依存する場合

次に示すように、ある関数においてがさらに変数にそれぞれ依存する場合を考えます。

この時の全微分がどうなるかを考えます。

まず、のそれぞれの全微分の式は、の式は変数に依存しているので、

そして今度は、そのとが、それぞれとに依存しているので

となります。

(1.2)の式に(1.3)のそれぞれの式を代入してみると、

より、

ここでとみなせるので、

(1.4)及び(1.5)の式を比較すれば、

と表せることがわかります。

以上を元に実際の計算を行ってみましょう。

【問題】

ある関数の変数が次に示す変数によって依存しているとします。

次のものを求めてみましょう。

【答え】

それぞれの微分の結果を示すと

これを代入すれば、

より、次のような結果を得ます。

このセクション内においてこれより先は単なる飛躍です。興味のある方だけ読んでみてください。

いま、関数に構成されている変数は、さらにという変数と次のような関係にあるとします。

このときの

を

を使って表すとどうなるかをすこし考察してみましょう。

とは全微分の公式により、

とはという公式により、

と書きなおすことが出来ます。

まずはのほうから微分していきます。

次に、

の計算ですが、これはちょっと工夫して、

このようにし、両辺をそれぞれ微分します。

となるので、

さらにに関しての微分を行うと、

は、先ほどと同じように、の両辺を今度はで偏微分します。

これより、

以上の結果より、それぞれ、

■一様な重力場中における質点の力学的エネルギー■

全微分の式を使って、力学的エネルギーが時間によらず一定、つまりであることを示します。

ちなみに微分の表記の仕方は今までやったとおりですが、時間で微分する場合はなどという書き方をします。意味的にはと全く同じです。呼び方はドットといいますのではワイのワンドットなどといったりします。

力学的エネルギーの式には変数がとの二つになっているのでと表せます。

これに対して全微分の式を適用すると、

の式をそれぞれで偏微分します。

(1.6)式に(1.7)を代入します。

この式をスカラー倍します。

ここでより

これにより、

よって“”は時間によらず一定であるということがわかります。

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