ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

全微分

全微分

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量 − すべての変数を微少量動かすということ

xを微少量dxだけ動かす。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

すると、一次近似より

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

となります。 ここでこのときの関数の変化量をブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量と書くならば、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

となります。これを関数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量の全微分といいます。

全微分とは、すべての変数を微少量動かしたときの一次近似での関数の変化量

                 

2変数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量の場合

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量の変数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量を微少量動かしてみます。 すると一次近似では、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

3変数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量でも同じように、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

簡単な例題を考えてみましょう。 ある2変数関数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量があったとします。その変数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量はさらに変数tによって示されるものとします。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

このときの微小変化量は、それぞれ、

           ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

まず、fに対する全微分は、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

なので、この式に先ほどの(1.1)の式を代入します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

または

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

となります。 また、関数yが変数xで表されている次のブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量というような場合は、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ここで、ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量から

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

なのでこれを代入すると、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

となります。
【問題】
ある2変数関数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量があります。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

この関数における変数x,yはそれぞれ次のように表せるとします。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

このとき、ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量を求めてみましょう。
【答え】
まず、x,yの式を微分します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

そして、zの式に関してそれぞれxyで偏微分します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

に代入すれば、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

以上の考え方をさらに発展させてみましょう。

 

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量においてブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量が変数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量にそれぞれ依存するとした場合、

 

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

このときの全微分がどうなるかを考えてみましょう。 ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量のそれぞれの全微分の式は、 zの式は変数x,yに依存しているので

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

そして今度は、そのxyが、それぞれrthetaに依存しているので

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

となります。 (1.2)の式に(1.3)のそれぞれの式を代入してみると
ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量 ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量 ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

 

ここでブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量とみなせるので
ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

(1.4)及び(1.5)の式を比較すれば、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

と表せることがわかります。

 

以上を元に実際の計算を行ってみましょう。
【問題】
ある関数zの変数x,yが次に示す変数r,tによって依存しているとします。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

次のものを求めてみましょう。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

 

【答え】
それぞれの微分の結果を示すと

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

これを代入すれば、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

となります。

(解終)

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

 

 

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このセクション内において、これより先は単なる飛躍です。
興味のある方だけ読んでみてください。
いま、関数ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量に構成されている変数x,yは、さらにr,thetaという変数と次のような関係にあるとします。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

このときの

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量


ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

を使って表すとどうなるかをすこし考察してみましょう。

 

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量は全微分の公式により、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

xyブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量という公式により、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

と書きなおすことが出来ます。
まずはxのほうから微分していきます。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

次に

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

の計算ですが、これはちょっと工夫して、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量


このようにし、両辺をそれぞれ微分します。
ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量
ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

さらにyについて微分を行うと、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量は、先ほどと同じように、tan thetaの両辺を今度はyで偏微分します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

以上の結果より、それぞれ、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

という結果が出てきます。 最後に、この結果をブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量の式に代入してみます。 ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量
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ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量
           ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

より、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

という(1.5)の式と同じのがちゃんと出てくることがわかるかと思います。

 

■一様な重力場中における質点の力学的エネルギー■

全微分の式を使って、力学的エネルギーEが時間によらず一定、つまりブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量であることを示します。
ちなみに微分の表記の仕方は今までやったとおりですが時間で微分する場合はブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量などという書き方をします。
意味的にはと全く同じです。呼び方はドットといいますのではワイのワンドットなどといったりします。

力学的エネルギーEの式には変数がブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量yの二つになっているのでブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量と表せます。これに対して全微分の式を適用すると、

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量の式をそれぞれブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量で偏微分します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量


(1.6)式に(1.7)を代入します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

この式をスカラー倍 ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量します。

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

ここでブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量よりブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量
これにより

ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

よってブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量は時間によらず一定であるということがわかりました。
ブラックショールズ,微分積分,全微分,多変数微分,一次近似,関数変化量

 

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