微分積分学

置換積分

置換積分

【関数の変数変換】

積分の計算というのは主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。

 

例えば次のような形の積分を実行するにはどうすればよいかを考えます。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

こういったものの場合、ほかのある変数で置き換える(置換)という作業をします。

 

上記の問題ではまず括弧の中の微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルに着目してそれを仮に微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルとおきましょう。

 

それを微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル微分すると、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

これにより、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

となるのでこれらを元の式に代入すれば、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

となります。

 

これを普通に積分し、元に戻せば、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

となります。

【例題1】

次の問題を置換積分を用いて解いてみましょう。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

まずカッコの中の式を次のようにtと置いてそれをxで微分します。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

としてこれをもとの式に代入します。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

tを元に戻せば、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

より次のように求まります。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

【例題2】

次の問題を解いてみましょう。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

指数関数の乗数部分を先ほどと同じようにtに置換します。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

代入します。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル


 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

三角関数を使った置換積分

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

まず微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルを次のように変数変換します。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

tで微分しますがタンジェントは、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

と表せるのでこれを商の微分公式、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

に当てはめて計算していくと、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル


 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

これより次のように求まります。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

ここで三角関数の公式微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルの式を変形してみると、

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル


 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

となるのでこれらを問題式に当てはめていきます。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

逆写像定理により,

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

となるので結果は以下のようになります。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

その他、三角関数を使った置換積分の例

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

今度も先ほどと同じく微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルで置換しますがここでちょっと工夫して次のように置きましょう。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

これを微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルで微分します。

 

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

となるのでこれらを代入していきます。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

さらに次のように変換式を変形します。

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

より、

 

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

よって次のようになります。

 

 

微分積分,置換積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

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