微分積分学

偏微分

偏微分

2つの変数式の微分

1つの式の中に2つの変数がある場合の関数偏微分法を考えてみましょう。

 

変数は2つあるので、このときの微分の仕方には次の2種類あります。

 

偏微分法

 

これを偏微分、または偏導関数といい、“偏微分法”は分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。

 

一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。

 

 

計算法はとくに難しく考えるまでもなく、xで偏微分するときはx以外の変数は定数だとして普通に微分すればよいだけです。

 

たとえば次のような2変数関数について、xyのそれぞれに偏微分を行ってみましょう。

偏微分

 

xについての偏微分は、

偏微分

 

yについては、

偏微分

 

 

となります。

【問題】

次に示す3変数関数についてそれぞれの変数に関しての偏微分を行ってみましょう。

偏微分

 

 

【答え】

偏微分

高階の偏導関数

偏微分法を1回偏微分すると、2通りの結果が出ることをやりました。

 

次は2回目、さらにはそれ以上の偏微分を繰り返していった場合、どういう結果が出るかを考察してみましょう。

 

先ほどの偏微分法を2回偏微分すると、

 

高階の偏微分

 

 

この4通りがあることがわかると思います。

 

さらに3回目の微分をすれば8通り、つまり高階の偏微分個の結果が出ます。

 

 

また、高階の偏微分の3変数関数に対して2回の偏微分をすれば、次のような結果、

 

高階の偏微分

 

高階の偏微分

 

高階の偏微分

 

 

という、高階の偏微分通りの結果が現れてくるということがわかると思います。

 

また、さらに3回目の微分を行えば高階の偏微分通りの結果が出てきます。

 

 

実際に2階偏導関数の計算を行ってみましょう。

 

 

【問題】

次の2変数関数の2階偏導関数を求めてみましょう。

高階の偏微分

【答え】

高階の偏微分

高階の偏微分

 

 

なので、次はそれぞれをさらに微分していきます。

高階の偏微分

高階の偏微分

高階の偏微分

高階の偏微分

気づかれているように高階の偏微分高階の偏微分は結果が同じです。

 

これは偶然などではなく微分する順番に関係なく結果が同じになるということです。

 

高階の偏微分


高階の偏微分が何回でも偏微分可能ならば偏微分する順序は関係がない


 

ただし有限回しか偏微分が出来ないときは注意しなければなりません。

 

合成関数の偏導関数

xyの2つの変数がある関数において、変数xyがさらにほかの変数s,tの関数、

 

高階偏導関数

 

であるとします。つまり、

 

高階偏導関数

 

という関数があるとき、

 

fをそれぞれstによって偏微分をすると、

 

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

となりますが、この2つの偏微分を実行するにはブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分yブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分を代入して、fをすべてstで書き直してから計算するという方法をとります。

 

このとき、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

となります。

 

実際に問題を解いてみましょう。

 

 

【問題】

ある2変数関数

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

があったとします。

 

この変数ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分はさらに次のような他変数によって表されるとします。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

2変数関数ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分に対する偏微分、

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

を導いてみましょう。

【答え】

まずブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分について、構成されているそれぞれの偏微分を実行すると、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

となるので、それを式

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

の右辺に代入すれば、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

今度はブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分についても同じように、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

となります。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

の右辺に代入すれば、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

となります。

 

補遺

ここで上記の式を使って、

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

の式を具体的に考察してみましょう。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分の式をブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分で偏微分すると、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

 

ここでループさせます。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分に着目して、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

さらに右辺に対して微分の逆演算を施せば、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

 

括弧の中の式ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分は、ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分だということがわかります。

 

それをブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分と書き直せば、

 

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,偏微分

 

 

となります。

 

tに対しても同じ結果がでてきます。

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