偏微分
2つの変数式の微分
１つの式の中に２つの変数がある場合の関数
を考えてみましょう。
変数は２つあるので、このときの微分の仕方には次の２種類あります。
これを偏微分、または偏導関数といい、“
”は分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。
一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。
計算法はとくに難しく考えるまでもなく、
で偏微分するときは以外の変数は定数だとして普通に微分すればよいだけです。
たとえば次のような２変数関数について、と
のそれぞれに偏微分を行ってみましょう。
についての偏微分は、
については、
となります。
【問題】
次に示す３変数関数についてそれぞれの変数に関しての偏微分を行ってみましょう。
【答え】
高階の偏導関数
を１回偏微分すると、２通りの結果が出ることをやりました。
次は２回目、さらにはそれ以上の偏微分を繰り返していった場合、どういう結果が出るかを考察してみましょう。
先ほどのを２回偏微分すると、
この４通りがあることがわかると思います。
さらに３回目の微分をすれば８通り、つまり
個の結果が出ます。
また、
の３変数関数に対して２回の偏微分をすれば、次のような結果、
という、
通りの結果が現れてくるということがわかると思います。
また、さらに３回目の微分を行えば
通りの結果が出てきます。
実際に2階偏導関数の計算を行ってみましょう。
【問題】
次の2変数関数の2階偏導関数を求めてみましょう。
【答え】
なので、次はそれぞれをさらに微分していきます。
気づかれているように
と
は結果が同じです。
これは偶然などではなく微分する順番に関係なく結果が同じになるということです。
が何回でも偏微分可能ならば偏微分する順序は関係がない
ただし有限回しか偏微分が出来ないときは注意しなければなりません。
合成関数の偏導関数
との２つの変数がある関数において、変数とがさらにほかの変数
の関数、
であるとします。つまり、
という関数があるとき、
をそれぞれ
と
によって偏微分をすると、
となりますが、この２つの偏微分を実行するには
のとに
を代入して、をすべてとで書き直してから計算するという方法をとります。
このとき、
となります。
実際に問題を解いてみましょう。
【問題】
ある２変数関数
があったとします。
この変数
はさらに次のような他変数によって表されるとします。
２変数関数に対する偏微分、
を導いてみましょう。
【答え】
まずについて、構成されているそれぞれの偏微分を実行すると、
となるので、それを式
の右辺に代入すれば、
今度はについても同じように、
となります。
の右辺に代入すれば、
となります。
補遺
ここで上記の式を使って、
の式を具体的に考察してみましょう。
の式をで偏微分すると、
ここでループさせます。
に着目して、
さらに右辺に対して微分の逆演算を施せば、
括弧の中の式
は、だということがわかります。
それをと書き直せば、
となります。
に対しても同じ結果がでてきます。
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