対数尤度関数の一階微分はスコア関数と呼ばれ以下のような物になる。
この式の両辺にさらに左から偏微分オペレーター
を作用させる。
ここで前回求められた式、
を作用させる。
この式を使えば次のような関係式が求まる。
さらに左辺と右辺第2項を移動させれば次のような式が得られる。
次にこれの期待値をとる。
確率変数がパラメーター
を持つ分布関数
の標本であるときその尤度関数
は、
を持つ分布関数の標本であるときその尤度関数は、
ここで右辺第1項のみを次のように積分の形にする。
はキャンセルされるので次のような式が求まる。
を思い出せば次のように式変形ができる。
上記式において右辺第一項の
はキャンセルされるので次のような式が求まる。
さらにここで微分と積分の順序を入れ替えられるという正則条件により右辺第一項を次のようにする。
ここで以下のような関係式、
これによりスコア関数の分散式は次に示されるように対数尤度関数の2階微分の期待値として表現できることになる。
尤度関数のコンテンツでフィッシャー行列式の各成分にマイナスがつく理由がこれになる。
変換式の期待値関連ページ
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- スコア関数式の変換
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- スコア関数の分散
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