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変換式の期待値

対数尤度関数の一階微分はスコア関数と呼ばれ以下のような物になる。

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

この式の両辺にさらに左から偏微分オペレーター線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を作用させる。

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

ここで前回求められた式、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

この式を使えば次のような関係式が求まる。

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

さらに左辺と右辺第2項を移動させれば次のような式が得られる。
線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

次にこれの期待値をとる。 線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学
確率変数がパラメーター線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を持つ分布関数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学の標本であるときその尤度関数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

ここで右辺第1項のみを次のように積分の形にする。

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

上記式において右辺第一項の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学はキャンセルされるので次のような式が求まる。

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

さらにここで微分と積分の順序を入れ替えられるという正則条件により右辺第一項を次のようにする。

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

ここで以下のような関係式、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

を思い出せば次のように式変形ができる。

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

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これによりスコア関数の分散式は次に示されるように対数尤度関数の2階微分の期待値として表現できることになる。

 

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尤度関数のコンテンツでフィッシャー行列式の各成分にマイナスがつく理由がこれになる。
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