よいこの低学年向け数学ひろば

固有値と固有ベクトル

固有値と固有ベクトル

考え方は以下のようになります。

 

 

まずあるベクトルvector Aがあってそれはn行n列の行列の(一般的には)線形演算子(一次変換)とし、

 

 

またvector xをn次の列ベクトルとします。するとこのとき、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

が成り立つならば、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

といいます。

 

 

ちなみに量子力学においてはvector Aが物理量、vector xが状態に、lambdaが観測される値に対応します。

 

 

上記の(1)を変形すると、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

 

Eは単位行列です。

 

いま仮に線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学が存在したとすると、これを$(2)$の左から両辺にかけると、

 

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

これは、線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学という条件に反するので線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は存在しないことになります。

 

従って、

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

でなければなりません。

 

 

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学lambdan次方程式(これを固有方程式といいます)となるのでこれを解けば固有値lambdaが求まるという寸法になります(一般的にはn個求まります)。

 

 

固有値lambdaが求まったら、それらをそれぞれ(1)に代入し、連立方程式の形にして、そしてこれを解けば固有ベクトルが求まります。

 

 

 

固有値と固有ベクトルを求める例題

固有値と固有ベクトルの例題

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

の固有値と固有ベクトルを求めてみましょう。

固有値と固有ベクトル

 

また、

 

固有値と固有ベクトル

 

なので、次のようにそれぞれを代入していきます。

 

固有値と固有ベクトル

 

 

 

この結果によりλは以下のように求まります。

 

 

固有値と固有ベクトル

 

 

さらにここで

 

固有値と固有ベクトル

 

とします。

固有値と固有ベクトルの場合

固有値と固有ベクトル固有値と固有ベクトルに代入して、

 

 

固有値と固有ベクトル

 

これを満たす

 

固有値と固有ベクトル

 

を見つけると、

 

 

固有値と固有ベクトル

 

したがって、

 

 

固有値と固有ベクトル

固有値と固有ベクトルの場合

固有値と固有ベクトル固有値と固有ベクトルに代入します。

 

 

固有値と固有ベクトル

 

 

これらを満たす固有値と固有ベクトルを見つけると、

 

固有値と固有ベクトル

 

 

になります。

 

 

なので、

 

 

 

固有値と固有ベクトル

以上の結果から、

 

固有値と固有ベクトルの固有値

固有値と固有ベクトルの固有値は、

 

固有値と固有ベクトル

固有値固有値と固有ベクトルに属する固有ベクトル

固有値と固有ベクトルに属する固有ベクトルは、

 

固有値と固有ベクトル

固有値固有値と固有ベクトルに属する固有ベクトル

固有値固有値と固有ベクトルに属する固有ベクトルは、

 

固有値と固有ベクトル

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