固有値と固有ベクトル
考え方は以下のようになります。
まずあるベクトル
があってそれはｎ行ｎ列の行列の（一般的には）線形演算子（一次変換）とし、
また
をｎ次の列ベクトルとします。するとこのとき、
が成り立つならば、
といいます。
ちなみに量子力学においてはが物理量、が状態に、
が観測される値に対応します。
上記の(1)を変形すると、
は単位行列です。
いま仮に
が存在したとすると、これを$(2)$の左から両辺にかけると、
これは、
という条件に反するのでは存在しないことになります。
従って、
でなければなりません。
はの
次方程式（これを固有方程式といいます）となるのでこれを解けば固有値が求まるという寸法になります（一般的にはｎ個求まります）。
固有値が求まったら、それらをそれぞれ
に代入し、連立方程式の形にして、そしてこれを解けば固有ベクトルが求まります。
固有値と固有ベクトルを求める例題
固有値と固有ベクトルの例題
また、
なので、次のようにそれぞれを代入していきます。
この結果によりλは以下のように求まります。
さらにここで
とします。
の場合
を
に代入して、
これを満たす
を見つけると、
したがって、
の場合
をに代入します。
これらを満たす
を見つけると、
になります。
なので、
以上の結果から、
の固有値
の固有値は、
固有値
に属する固有ベクトル
に属する固有ベクトルは、
固有値
に属する固有ベクトル
固有値に属する固有ベクトルは、
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