フーリエ解析

フーリエ積分

フーリエ積分

今、周期的ではない関数があったとします。

 

このとき、

 

周期 フーリエ解析,フーリエ積分,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

と考えることが出来るかと思います。

 

 

こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

 

 

フーリエ積分公式

 

 

上記式のフーリエ積分フーリエ積分は以下のようになります。

 

フーリエ積分公式

 

 

実際に代入してみると、

フーリエ積分公式

 

フーリエ積分公式

 

ここで三角関数の関係式

 

三角関数公式

 

 

より、

 

フーリエ積分公式

 

これをフーリエ積分公式などといったりします。

 

熱伝導方程式を解く際にこの上記の公式に例えば乗数に変数xiのついた指数が一緒にある場合の計算が必要になります。

 

一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。

 

ただしこの積分は答えを出すまでが少々厄介です。

フーリエ積分公式の求め方■

まず積分順序を変更します。

 

この場合、f(x)が有界かつ絶対積分可であるならば積分順序の変換が可能です。

 

フーリエ積分公式計算過程

 

 

フーリエ積分公式計算過程

 

このときの積分式、

 

フーリエ積分公式計算過程

 

について考えて見ましょう。

 

例えば、次のような場合の積分を解く方法を詳しくやります。

フーリエ積分公式計算過程

 

まず求める積分をIとおきます。

 

 

フーリエ積分公式計算過程

 

これをまずaで偏微分してみまょう。

 

フーリエ積分公式計算過程

 

 

ここで、

 

フーリエ積分公式計算過程

 

という関係を利用し、部分積分をすると、

フーリエ積分公式計算過程

 

 

フーリエ積分公式計算過程

フーリエ積分公式計算過程

フーリエ積分公式計算過程

フーリエ積分公式計算過程

 

この結果により以下のような微分方程式が導かれます。

 

フーリエ積分微分方程式計算過程

 

 

この微分方程式の解を求めます。

フーリエ積分微分方程式計算過程

 

 

フーリエ積分微分方程式計算過程

 

 

対数の性質により指数の定数をフーリエ積分定数Cの計算過程と置けば以下のような式が求まります。

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

さらに両辺の対数をとれば以下のように求まります。

 

 

フーリエ積分微分方程式計算過程


 

 

次にこの積分定数積分定数Cを求めます。

重要なことはこの積分定数Cという積分定数はIの変数をフーリエ積分定数としてIフーリエ積分定数aについて積分したものなのだから当然出てきた積分定数積分定数Cフーリエ積分定数Cであるということになります。

 

フーリエ積分定数C

 

より、

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

ここでa=0なので、

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

上記式フーリエ積分定数Cの計算過程を求めるためにまず積分範囲を広げて求める積分値を2倍にします(yを対称に広がっているために可能です)。

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

xiについての変数変換を実行するためにyに関しての式を次のように置きます。

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

この式に関してxiで変数変換していきます。

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

これにより、

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

これを代入すれば、

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

次のように求まります。

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

 

 

また途中の式の積分式はガウス積分ガウス積分を使っています。

 

 

そしてこれらによって次のように求められます。

 

 

フーリエ積分定数Cの計算過程

よって求める積分の値は次のように求まります。

 

 

フーリエ積分定数Cの計算結果

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