ブラックショールズモデル導出への道しるべ

無限区間における熱伝導方程式（拡散方程式）とフーリエ積分

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は、

について無限に長い場合（無限区間）の方程式を考えてみることにしましょう。

積分範囲が無限区間となるのでこの場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。

同じように変数分離を行いそれぞれの定数をとします。

右辺はの関数、左辺はの関数になっていますので、それぞれを定数とみなして式を作ります。

について

についての特性方程式は、

なので基本解は、

熱伝導方程式（拡散方程式）における重ね合わせの原理

未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。

つまりがその方程式の解ならばその線形結合も解となります。

次のような式を考えてみましょう。

※）20211107訂正。右辺変数がではなくになっておりました。訂正しお詫び申し上げます。

変数分離法を使って、をとの関数として二つに分離します。

これを上式に代入すると、

さらにここでの項との項を以下のように左右二つに分類分けをします

式の両辺をよく見てみるとそれぞれがとだけの関数になっていることがわかると思います。

上式のようにとを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよく、この定数をそれぞれの式に対して、

と置くと、

という２つの方程式で表せます。