境界値問題

無限区間における熱伝導方程式（拡散方程式）とフーリエ積分

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は、

について無限に長い場合（無限区間）の方程式を考えてみることにしましょう。

積分範囲が無限区間となるのでこの場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。

同じように変数分離を行いそれぞれの定数をとします。

右辺はの関数、左辺はの関数になっていますので、それぞれを定数とみなして式を作ります。

について

についての特性方程式は、

なので基本解は、

について

次に,

に関して、

を代入すると、

となるので以下のような微分方程式がでてきます。

といった微分方程式がでてきます。

これを解いていきます。

これらの結果よりは、

上記の定数にはそれぞれの中にが組み込んであるものとしています（単に表記を簡略化しています）。

上式の解において線形結合なのでこれによる重ね合わせもまた解になるということを考えれば、

と表現できます。

さらにここでをの関数と考えた場合、

この式が以下に示す初期条件、

を満たすようにします。

ここでのフーリエ積分表示を適用すれば、

となるので代入して、

ここで収束性というのについて述べると、フーリエ積分というのは、がという範囲において絶対積分可能であり、さらにはこのが有界（※無限に長い棒としていますが、
で有界（という前提のため）であるというこの２つの条件を満たせば積分順序の交換が可能になります。

そうすると次のようにできます。

先ほどのセクション（一次元熱伝導方程式）のと違うところは、無限区間（における熱伝導方程式）という前提のためにフーリエ積分になるのであって、そのフーリエ積分という性質のために新しく、

の部分の計算が必要になってくることです。

の計算

まず求める積分をと置きます。

これをで偏微分します。

上式の右辺に対して部分積分を実行します。

部分積分の公式、

に当てはめればそれぞれ、

となるので連鎖律（チェイン）を使い、次のように微分していきます。

より、をについて微分した結果は、

となるのでこれを利用すれば、式の右辺の部分積分は、

という結果より、

となります。

この微分方程式を解いていきましょう。

ここでのを見やすいようにただのと表記します。

すると、

といった感じになります。

次にこの定数について考察してみると、このはの変数をとしてをについて積分したものなので、当然でてきた積分定数はだということにあります。

を元に戻せば、

ここでなので、

ここで出てきたこの式にガウス積分公式が適用できるように積分範囲を広げます。

右辺の積分を実行するために変数変換をします。

代入すれば、

これにより以下のようになります。

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