熱伝導方程式による境界値に関しての問題とその解法
熱伝導方程式（拡散方程式）における重ね合わせの原理
未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。
つまり
がその方程式の解ならばその線形結合も解となります。
次のような式を考えてみましょう。
※）20211107訂正。右辺変数が
ではなく
になっておりました。訂正しお詫び申し上げます。
変数分離法を使って、を
と
の関数として二つに分離します。
これを上式に代入すると、
さらにここでの項との項を以下のように左右二つに分類分けをします
式の両辺をよく見てみるとそれぞれがとだけの関数になっていることがわかると思います。
上式のようにとを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよく、この定数をそれぞれの式に対して、
と置くと、
という２つの方程式で表せます。
境界条件の付与
これを以下に示す条件－
境界条件
および、初期条件、
のもとにその解を求めてみましょう。
と考えられるので、
という２つの条件を満たすものをまず求めます。
まず、
の解で境界条件、
を満たすものは次の３種類が考えられます。
のとき
になるので一般解は、
の条件、
となり解としては意味がありません。。
のとき
一般解は、
となるので、条件より、
となります。
この場合も再び、
はとなるので
と同じように解としては意味がありません。
のとき
では最後の
はどうなるでしょうか？実際にやってみると、
となるので解は次に示す、
というような複素解になります。
実数部、 虚数部
なので特性方程式は、
となり、さらに条件から、
より、
さらに、
より、
ここで
について考察してみると、このとき
で
の式が成り立つためには
でなければなりません。
その条件とはサインの性質により、
でなければならないということがわかります。
この結果、条件を満たす
の解は、
となり、
さらにこのとき、
の式は、
ここで式を見やすくするために
と置きます。
すると、
同次方程式がでてきたのでこれを解けば、
ここで
と
の定数を一緒にすれば、
ここで
の重ね合わせ（線形結合）を考え、初期条件を満たすようにすると、
さらには、
という条件により、
ここで半区間のフーリエ正弦級数を思い出すと、
というのがあったのでこれを使うと
は次のように表現できます。
よって求める解は次のようになります。
以上のことを踏まえこの一次元熱伝導方程式の実際のモデルを計算してみましょう。
【例題】
初期条件
で、
境界条件
【解法手順】
このとき、
なので、は
これを解いていきます。
よって
の式、
に代入すると、
【問題】
次のような熱伝導方程式、
を、次に示す初期条件と境界条件をみたすよう解いてみましょう。
- 初期条件
- 境界条件
【答え】
なので、は、
ここで三角関数の性質、
を使えば、
上式の結果に
を代入するとになると思いますがここで先ほどの途中の式、
において実際にを代入するとどうなるかやってみましょう。
上記の右辺にを代入すると、
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