フーリエ解析

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

区間フーリエ解析,フーリエ級数展開,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルは次のよう和の記号を用いて級数に展開することが可能であるとします。

 

 

フーリエ級数展開

 

 

このように表現されるとき、上式の右辺、

 

フーリエ級数展開

 

の部分をフーリエ級数展開といいます。

 

右辺式中のan, bnは次のようになります。

 

 

フーリエ級数展開公式

 

 

実際にan, bnを求めます。

まず、

 

フーリエ級数展開

 

 

の両辺にコサインnxをかけて、それをマイナスパイからマイナスパイまでを積分してみます。

 

 

フーリエ級数展開

▼右辺第一項の計算

 

フーリエ級数展開

 

a_0なのでn=0になります。

 

したがって、

 

フーリエ級数展開

 

 

 

右辺第2項、3項の導出

次にan, bnの導出ですがその前に三角関数の性質についておさらいしてみましょう。

 

 

三角関数の加法定理には以下の性質があります。

三角関数公式

 

三角関数公式

 

 

上記の式を覚えるコツは、三角関数サインのほうは“シンコスコッシン”、三角関数コサインのほうは“コスコスシンシン”、などとすると覚えやすいです。

 

そして三角関数サインの場合は符号はそのままで、三角関数コサインのほうは符号が逆になるということに注意しましょう。

 

この式において、互いに引き算足し算などをするとさらに次のような式が示されます。

三角関数公式

 

 

三角関数公式

こういった性質をつかって上記の積分を解いていきます。

 

右辺第2項の計算

n≠mのとき

まず、n≠mのとき、

 

 

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開


※)20211103加筆修正。最後の結果の=0が抜けていました。訂正しお詫び申し上げます。

 

なお、上記の式においては三角関数の性質における次のような関係式、

 

サインパイ関係式

 

を使っています。

 

 

n=mのとき

次にn=mであるならば、

 

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

という結果によりn=mの場合は次のような結果になります。

 

フーリエ級数展開

 

このときこの結果により、フーリエ級数展開のとき、

 

 

フーリエ級数展開

 

フーリエ級数展開のときだけゼロでない結果が出ます。

 

よって、

 

フーリエ級数展開

 

の場合、

 

フーリエ級数展開

 

により以下のように求まります。

 

 

フーリエ級数展開

右辺第3項の計算

さらにフーリエ級数展開の部分は、

 

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

となるので結果はゼロ。

 

また、コサインの遇奇性によりコサイン偶奇性です。

 

 

 

sin nxをかけた場合

次に、

 

フーリエ級数展開

 

の両辺にsin nxをかけて、integral -pi pi dxします。

 

 

フーリエ級数展開

 

 

上記式右辺第一項は、n=0なので式自体が消去できます。

 

さらに第2項も、先ほどの上記bn式のように計算していけば同じように結果は0になります。

右辺第3項の計算

第3項n≠mのとき

さらに第3項に関して計算していきます。
n≠mのとき。

 

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

※)20211103加筆修正。最後の=0の式がアありませんでした。訂正しお詫び申し上げます。

 

 

n=mのとき

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

となるので結果は次のようになります。

 

フーリエ級数展開

 

 

 

この結果により、フーリエ級数展開のとき、

 

フーリエ級数展開

 

n=mのときだけゼロでない結果が出ます。

 

フーリエ級数展開

 

となるので、

 

フーリエ級数展開

 

より、

 

 

フーリエ級数展開

 

 

という結果がそれぞれ導かれます。

以上の結果より、フーリエ級数展開の式は、

 

フーリエ級数展開

 

と書けることがわかります。

■具体的な例

次に示す範囲のf(x)をフーリエ級数展開してみましょう。

フーリエ級数展開具体例


フーリエ級数展開具体例

 

 

まず求めるものはa0an bnです。

 

まずa0を計算します。

 

 

第1項の計算

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

つづいて第2第3項の計算をします。

 

第2項の計算

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

 

第3項の計算

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

これらの結果により第3項のフーリエ級数展開のみが意味のある解になります。

 

フーリエ級数展開

 

 

表題f(x)のフーリエ級数展開の式に上記の結果をあてはめて行って以下のように計算していきます。

 

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開

 

この結果により以下のような計算結果を得ます。

フーリエ級数展開

 

 

非常に単純に示した 、

 

フーリエ級数展開

 

のようなモデルからなぜ上記のような式が出てくるのかと考え込む方が多いと思いますが、まぁそこはあまり深く考えずにこういうものなんだと軽く受け止めましょう。

nextupprevious

ブログランキング・にほんブログ村へ

フーリエ級数展開関連ページ

フーリエ正弦展開・余弦展開
ブラックショールズモデルとは、金融工学におけるオプションの価格決定の際に必要な計算モデルのことを指します。このチャプターではブラックショールズモデル偏微分方程式意を導く過程において重要になるフーリエ解析に関して解説していきます。
フーリエ積分
ブラックショールズモデルとは、金融工学におけるオプションの価格決定の際に必要な計算モデルのことを指します。このチャプターではブラックショールズモデル偏微分方程式意を導く過程において重要になるフーリエ解析に関して解説していきます。

ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 線形代数 ベクトル解析 慣性モーメント 解析力学 微分方程式 NEへの道しるべ