ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開


区間ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数は次のように展開することが可能です。

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このように表現されるとき、上式の右辺、

フーリエ級数展開

の部分をフーリエ級数展開といいます。 ただし、フーリエ級数展開は次のようになります。

フーリエ級数展開

実際にを求めてみましょう。
まず

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の両辺にcos nxをかけて、それを-πからπまでを積分してみます。

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▼右辺第一項の計算

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a0なのでn=0です。
よって、

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次にブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数の導出ですがその前に三角関数の性質についておさらいしてみましょう。
三角関数の加法定理には以下の性質があります。
三角関数の加法定理
三角関数の加法定理

上記の式を覚えるコツは、sinのほうは“シンコスコッシン”、cosのほうは“コスコスシンシン”、などとすると覚えやすいです。そしてsinの場合は符号はそのままで、cosのほうは符号が逆になるということに注意しましょう。
この式において、互いに引き算足し算などをするとさらに次のような式が示されます。

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こういった性質を利用して上記の積分を解いていきます。
まず、ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数のとき

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となります。

 

ちなみに上記の式においてブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数という関係を使っています。

 

次はn=mであるならば

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この結果により、
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さらにブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数の部分は、

 

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となり結果はゼロです。ちなみにコサインの遇奇性によりブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数です。

 

こんどはブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数の両辺にブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数をかけて、ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数します。

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右辺第一項は、ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数なので式自体が消去できます。
さらに第2項も、上記(2.3)のように計算していけば同じように結果は0です。

 

第3項
ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数のとき
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次にブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数のとき
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以上の結果より、フーリエ級数展開の式は、

ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数

 


■具体的な例

次に示す範囲のブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数をフーリエ級数展開してみましょう。
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まず求めるものはa0an,bnです。
まずa0を計算します。

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つづいて第2第3項の計算をします。 ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数
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よってブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数のフーリエ級数展開は ブラックショールズ,フーリエ解析,級数展開,フーリエ積分,三角関数
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となります。

 

非常に単純に示した

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のようなモデルからなぜ上記のような式が出てくるのかと考え込む方が多いと思いますが、まぁそこはあまり深く考えずにこういうものなんだと軽く受け止めてください。

 

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