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フーリエ正弦展開・余弦展開

フーリエ正弦展開/余弦展開

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■フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数■

cos xsin xのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

 

こうした場合、その遇奇性によりcos xなので遇関数、sin xなので奇関数であるといえます。つまり求めるフーリエ級数展開においてが遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数のそれぞれのどちらか一方が0になります。
例えば、関数が遇関数遇関数であるとしブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開に拡張し周期2Lの周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

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これをフーリエ余弦展開といいます。
さらには、ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開が奇関数ならば今度はブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開が0となってしまうので周期2Lのフーリエ級数展開はサイン項だけが残ります。よって、

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となります。これをフーリエ正弦展開といいます。
実際に上記に述べたやり方でブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開をフーリエ展開してみましょう。
グラフからわかるようにブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開は遇関数ですのでブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開となります。
まずブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ級数,フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数,フーリエ正弦展開,フーリエ余弦展開から計算していくと、

 

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よってフーリエ級数展開は、

 

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となります。

 

この方法を使うとある程度計算が省略できますので少しは楽です。
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