フーリエ解析

フーリエ正弦展開・余弦展開

フーリエ正弦展開とフーリエ余弦展開

■フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数■

cos xsin xのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

 

こうした場合、その遇奇性によりcos xf(-x)=f(x)なので遇関数、
sin xf(-x)=-f(x)なので奇関数であるといえます。

 

つまり求めるフーリエ級数展開においてf(x)が遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数an, bnのそれぞれのどちらか一方が0になります。

 

 

 

例えば、関数f(x)が遇関数f(-x)=f(x)であるとし-L<x<Lに拡張し周期2Lの周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

フーリエ余弦展開公式

フーリエ余弦展開公式

さらには、f(x)が奇関数ならば今度はan0となってしまうので周期2Lのフーリエ級数展開はサイン項だけが残ります。

 

よって、

 

フーリエ正弦展開

フーリエ余弦展開

 

となります。

 

これをフーリエ正弦展開といいます。

実際に上記に述べたやり方で次の関数、

 

フーリエ正弦展開

 

をフーリエ展開してみましょう。

グラフからわかるようにフーリエ正弦展開は遇関数なのでbn=0となります。

 

a0の導出

まずa0から計算していくと、

 

フーリエ余弦展開

 

 

フーリエ余弦展開

フーリエ余弦展開の導出

次にフーリエ余弦展開の計算をしていきます。

フーリエ余弦展開

 

 

フーリエ余弦展開

フーリエ余弦展開

フーリエ余弦展開

フーリエ余弦展開

フーリエ余弦展開

フーリエ余弦展開

 

となるので結果は次のようになります。

 

フーリエ余弦展開

 

※)20211105修正。導出過程順序が逆になっていました。ご迷惑をおかけいたし大変申し訳ございませんでした。

以上により結果的に次のように求まります。

 

フーリエ余弦展開

 

 

フーリエ余弦展開

 

ここで周期がフーリエ余弦展開なので、

 

フーリエ余弦展開

 

展開していくと、

 

フーリエ余弦展開

 

 

フーリエ余弦展開

 

というような級数展開の式が求まります。
この方法を使うとある程度計算が省略できますので少しは楽です。

 

ちなみに求まったこの式、

フーリエ余弦展開

xpiを代入して式変換するとある有名な数式が出るようです(私は最近知りました…)。
書籍も出版されている有名な数学サイト“高校数学のうつくすい物語”様にくわすく説明されておりますのでぜひ参考にしてみてください。

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