ロンスキ―行列式②
で表します。前述に述べた１次独立であるための必要十分条件になります。
逆に上記のロンスキアン行列式が、
であるならば１次従属。
考え方としては次のようなものが出来上がります。
斉次方程式
の２つの解
が１次独立であるための必要十分条件とは以下に示すような行列式が次のように0とならないことになります。
上記のは斉次方程式の１次独立な解であるためこのロンスキアンはある区間内の任意の点
において0にならない―
の２つの解が１次独立であるための必要十分条件とは以下に示すような行列式が次のように0とならないことになります。
は斉次方程式の１次独立な解であるためこのロンスキアンはある区間内の任意の点において0にならない―
いま
を斉次方程式の解とし、ある区間内の任意の点をとして一つだけ取ると、
の方程式、
を満たす定型数があると考えられるので、
を斉次方程式の解とし、ある区間内の任意の点をとして一つだけ取ると、
の方程式、
とした場合、先に示した斉次方程式の
を用いて、
は斉次の解と考えられ、任意の解の１次結合
が
の関数と考えて次のような関係式、
を用いて、
は斉次の解と考えられ、任意の解の１次結合
がの関数と考えて次のような関係式、
が1次独立であることを用いて、
斉次の解を上のとすると先ほどの
はの解と考えられ、
は同次方程式の一般解と置くことが考えられます。
とすると先ほどのはの解と考えられ、
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