2014年1月31日

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コリオリ弾道計算記事内において、コリオリ弾道弾計算の時に出てきた式、

 

 

これを定係数２階非同次微分方程式といって、この式を解く際に使われていた解法には微分演算子法と呼ばれる計算法を使用して解を導き出しています。

問題の式は２階微分が入っており変数以外の定係数が含まれ大体次のように表されます。 問題の式は一階微分がないので、 のような形になります。

 

前回の記事において上記の微分方程式の特解の求め方には微分演算子法以外にも“ロンスキー行列式”による解法もあると書いたので今回はこれを詳しくやってみました。

ロンスキアンによって求められる特殊解をとおくと、一般解は、

まず基本解から求めると、

なので、と置きまして、

この結果によって、

よって解はの２つになるので積分定数をそれぞれと置けば基本解は次のようになります。

 

さらに今度は定係数２階非同次線型方程式における特解をロンスキー行列式と呼ばれる数式を使って解いていきます。
まず最終的に求める一般解は、

となるので求めるのは第３項の特解部分、になりこれは次のように表せられるものになります。 また式中のは次のような行列式を使ったものになります。

基本解が２つなので、

先ほどの解を次のように置きます。

一階微分で、

これをの式へ代入して計算していきます。

という結果が出てきたのでこれらをの式に代入していきます。

まず右辺第一項の計算を行うと、

のように部分積分などを使って計算していけば次のように求まります。

この出てきた解が問題にしている微分方程式の特殊解になります。

よって一般解は次のようになります。

こんな感じでコリオリ弾道計算で出てきた特殊解と同じものが導き出されることがわかります。
ちなみにこのロンスキー行列式というのはその問題にしている方程式が線形独立か、または線形従属なのかといったことなどを調べるためにも使われます。

ロンスキー行列式関連ページ

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