PYTHONグラフィクス1
関数の描画
三角関数
コサインの描画
Microsoft Windows [Version 6.3.9600]
(c) 2013 Microsoft Corporation. All rights reserved.
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 16, 0.001)
y = np.cos(x)
plt.plot(x,y)
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C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 16, 0.001)
y = np.cos(x)
plt.plot(x,y)
plt.show()
importをし、xの幅を範囲指定します。
コサインならcos(x)と入力して上記のようにコードを入力、または上記のコード（import numpy as npから下の部分）をコピペしてそのまま張り付けてEnterキーを押せば左のような画像が簡単に出力されます。
サインの描画
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Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-3, 3, 0.001)
y = np.sin(x)
plt.plot(x, y)
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C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-3, 3, 0.001)
y = np.sin(x)
plt.plot(x, y)
plt.show()
正規分布関数
で表しその内容を具体的な数式で表記すると次のようなものになります。
C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
sigma = (1.0)
mu = (0)
x = np.arange(-5, 5, 0.001)
y = (1/np.sqrt(2 * np.pi * sigma)) * np.exp(-(x - mu)**2 / 2 * sigma**2)
plt.plot(x, y)
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
sigma = (1.0)
mu = (0)
x = np.arange(-5, 5, 0.001)
y = (1/np.sqrt(2 * np.pi * sigma)) * np.exp(-(x - mu)**2 / 2 * sigma**2)
plt.plot(x, y)
plt.show()
正規分布関数の定積分計算
標準正規分布関数をプラス側とマイナス側に分けて実際に定積分し、同じ値が出るか確認してみましょう。簡単のために平均のミューは０、分散は１として計算します。
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Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>>
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Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>>
0.341344746068543という値が出ました。
次にｘの定積分範囲を-1から0に指定してその値を出力します。
C:\WINDOWS\system32>python
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Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 0)).evalf()
0.341344746068543
>>>
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 0)).evalf()
0.341344746068543
>>>
同じ0.341344746068543という値になります。
また積分範囲を-1から1のように指定すると、
C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 0)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 1)).evalf()
0.682689492137086
>>>
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 0)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 1)).evalf()
0.682689492137086
>>>
と出るので２倍した数値が出てきます。
なのでy軸に対して対称性のある正規分布関数などを積分する場合は次のようなことができます。
このような性質を使って求める場合があり、例えばガンマ関数の1/2の場合の積分値などがあります。
ガンマ関数２分の１の例
次のように表現される式、
これを
(ガンマ)関数といいます。
この関数の変数部分
が
の場合を計算してみましょう。
ここで次のような変数変換をします。
これを代入して計算していきますが、途中の式で先ほどの正規分布関数の性質を応用して０から無限大への積分範囲を、マイナスの無限大からプラスの無限大に拡大します。もちろん２倍になるので同値にするために２分の１を式中に付け足します。
最後はガウス積分の公式、
を使っています。
結果的に次のような公式が導かれます。
これ以外にも典型的な関係式を挙げると次のようなものがあります。
(ガンマ)関数といいます。
この関数の変数部分が
ここで次のような変数変換をします。
最後はガウス積分の公式、
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