定係数２階同次微分方程式
特性方程式
2階のある微分方程式、
を考えて見ましょう。
いま、仮にこの式の
を
が解であるとします。
これを特性方程式といいます。
ここで高校で習った解の公式と
を使ってみると、
判別法というのを出してみると
ですがこれによって解の種類が3種類ほどに分別できます。
のとき
解は異なる２つの実数の解
となり、基本解は、
さらに一般解は、
のとき（重根と呼ばれ
のときに起こります）
解は重解となります。
この場合、この特性方程式の根は
ですが簡単に基本解が同じもの2つということにはなりません。
階の微分方程式には個の任意定数を含む個の解が必要です。
つまり
に対して線形独立なもう一つの解を求めなければなりません。
その2つ目の解を仮に、
と置きます。
すると
は、
となります。
これを、
に代入してみると、
になるので上記の2階微分方程式は次のようになります。
さらに今度はこのでてきた式を２回積分します。
これらにより、
となりますが、ここでもとめているのは
とは違う独立な解を求めることなのでこれを単に、
と置きます。
そうすると、
となります。
ここで
を次のように置きます。
そうすると基本解は、
一般解は以下のようになります。
(3)
のとき
このとき解は実数とそれ以外に虚数と呼ばれるものがミックスされた複素共役と呼ばれるものになります。
汎用ブラックショールズモデルを導く際にはこのときの解を用います。
根は、
といったものになり、基本解は次のようになります。
実数が
に対応し虚数側が
といった三角関数のほうに対応しています。
特性方程式は次のようになります。
ちなみに虚数$i$は
といった性質を持っています。
【例題】
次に示す方程式を解いてみましょう。
【答え】
まず特性方程式を作ります。
因数分解が出来ないのでこれは解の公式を使って求めます。
となるので基本解は、
となるので一般解は次のようになります。
定係数２階同次微分方程式関連ページ
- 常微分方程式
- ブラックショールズモデルとは、金融工学におけるオプション価格決定の際に必要な計算モデルのことを指します。当サイトはこのブラックショールズモデル偏微分方程式の導出過程だけではなくそれらを導くための初等数学からを丁寧に解説したサイトです。このチャプターではそのブラックショールズ偏微分方程式を導くための微分方程式を簡単にまとめてあります。微分方程式というのは、その式の中に独立変数とその関数、およびその導関数をも含んでいるものをいいます。この微分方程式を解くというのは与えられている式を恒等的に満たすものを求めることであり、その解には一般解と、さらには任意定数に特別な値を入れて求める特殊解などがあります。 常微分方程式とはある変数に対する関数とその1階、2階～などの導関数と、ある独立変数を含んだ方程式になりその独立変数は1つのものをいいます。
