微分方程式

常微分方程式

常微分方程式

微分方程式の例1)

 

つぎのようなxに関する方程式を考えます。

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

両側をxに対して微分します。

 

常微分方程式

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

これをさらに微分すると、

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

といったものが微分方程式です。

 

※)20211023修正(計算過程及び結果が間違っておりました。ご迷惑をおかけいたし大変申し訳ございませんでした)

微分方程式の例2)

 

次の円について考察してみましょう。

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

この円に関しての方程式は円の方程式だったと思います。

 

これをxで微分するとどうなるでしょうか?

 

実際にやってみると、

 

円の微分方程式

円の微分方程式

円の微分方程式

円の微分方程式

円の微分方程式

 

 

という式が出てきます。

 

これは円の接線方向の傾きを意味しています。

【n階微分方程式の解】

微分方程式に含まれる導関数の階数(ドット数)の一番高いもの(n階)を、n階の微分方程式といいます。 微分方程式の解には一般解と特殊解というのがあります。基本的にはn階微分方程式にはn個の任意定数を含むn個の一般解があり、さらにはその任意定数constantにおいて初期条件などがついていてその条件のもとでしか求まらない解…いわゆる特殊解とよばれるものがあります。

【例題】

次の微分方程式を求め、そしてその一般解からcdots内の初期条件を満たす特殊解を導いてみましょう。

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

【答え】

 

一階微分方程式

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

これが求める一般解になります。

 

 

さらにこの一般解に対して初期条件を代入し特殊解を求めます。

 

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

なので求める特殊解は、

 

常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

となります。

【1階微分方程式(変数分離形)】

 

次の形の微分方程式を考察してみましょう。

 

変数分離形

 

 

 

 

解き方としては、まず変数が2つあるので両辺にそれぞれを“分ける”ということをします。

 

 

変数分離形

 

 

変数分離形

 

 

次にこの式の両辺をそれぞれ積分します。

 

 

変数分離形

 

 

定数といのは積分定数です。

 

 

※)20211026修正。式が間違っておりました。大変申し訳ございませんでした。

【例題】

 

変数分離形

 

 

まず変数分離という作業をし、それぞれを積分して行きます。

 

 

変数分離形

 

 

変数分離形gnuplot図

 

 

右上図は変数分離形のときの変数分離形、つまり変数分離形をグラフ化したものです。

 

ラインが複数に分かれている理由は計算によって出てきた積分定数定数Cの値を常微分方程式,ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデルから5の範囲で0.5刻みでプロットしているためです。

【問題】

 

 

次の微分方程式を解いてみてください。

 

 

変数分離形

【答え】

 

 

まず変形させます。

 

 

変数分離形

 

 

次に両辺を積分します。

 

 

変数分離形

 

変数分離形

 

変数分離形

 

 

両辺の対数をとって、

 

 

変数分離形

 

 

これが求める一般解になります。

nextupprevious

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