ラグランジュによる連成振動の解�@

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長さの糸を張力で張っておき、長さごとに質量のおもりを結びつけ、そのおもりは直角方向のみに振動するとします。こういった場合のおもりの小振動をラグランジアンを使って求めてみましょう。

 

 

まずそれぞれの糸におけつ直角方向の張力を求めます。

 

 

 

 

残りの２つも同じようにして求めます。

 

 

 

 

 

これらの結果によりラグランジアンは次のようになります。

 

 

 

より

 

 

つぎにより、

 

 

ここで解を

 

 

と置いて、これをそれぞれ２度微分します。

 

 

に代入して、

 

さらに今度はに代入して、

求められた次の式、 と、 の式においてが同時に０になると運動しない これは意味がありません。

 

上記の式において意味のある解を求めるには、同時にならないような解を求めなければなりません。その同時に０にならないような条件として次に示すような行列式を使った永年方程式と呼ばれるものを計算する必要があります。

 

 

この行列式を解きます。

 

ここでと置くと

これを解くと、

 

 

 

の２つが出てくるので、これをプライムを使って区別します。

 

 

に関して

 

したがって、

 

まずより、

 

の一組と、

 

さらにより、

 

 

の２組が目止められます。

 

これらをそれぞれ加え合わせれば、

 

 

 

 

　　

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解析力学とは、簡単に説明すればニュートン力学における運動方程式の記述を座標変換などの解析的な手法を用い、力学の現象を数学的に洗練された形にあらためて表現しなおしたものをいいます。 当サイトコンテンツはあくまで初学者、あるいは一般の方が、解析力学というものはどんなものかと知るような場合に適した内容になっているかと思います。ただしある程度の微分積分学の知識が必要です。

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