2重振り子:振動が微小の場合
おもりを2つ吊るした振り子の微小振動の動きをラグランジアンを使って解析してみましょう。
糸の重さは無視できるものとします。
微小振動としているので、
このような場合は水平方向のみを考えればよいです。
まず運動エネルギーは、
ポテンシャルエネルギーは、
とした場合、となってしまうので とします。これを使えば
よってラグランジアンは次のようになります。
から、
2つのおもりの角振動数を、初期位相をとし、解を次のように置きます。
それぞれ2度微分すれば
これらを
この行列式を計算します。
に代入します。
上記の式においてが同時に0にならない条件を求めなければなりません。
その条件とは永年方程式を使って次のようになります。
とすると、
公式を使って解を求めると、
これが微小振動における2重振り子の基準振動数になります。
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