ラグランジュ関数
速度
で運動している質量
の運動エネルギー
をデカルト座標で表せば
軸方向のみを考え、そのずれの時間を
から
とします。自体の時間に対する変分と微分の関係を求めます。
で運動している質量の運動エネルギーをデカルト座標で表せば
これの変分を考えてみましょう。
簡単のために運動は
軸方向のみを考え、そのずれの時間をからとします。まず
自体の時間に対する変分と微分の関係を求めます。
さらに運動エネルギー
の変分を考えれば、
（1.12）に（1.13）を代入すると、
の変分を考えれば、
微分と変分の入れ替えが可能なので次のようになります。
（1.15）式を積分すると、
（1.16）において微分と積分を交換しています。
になるということに注意すれば、
などの保存力だった場合
の式を変形させると、
さらに部分積分を適用しますが、このとき第一項は端点を固定しているので結果
になるということに注意すれば、
力がポテンシャルエネルギー
などの保存力だった場合
そしてこれの変分を考えると
（1.18）（1.19）を使って
の式を変形させると、
このように停留値をとらせるようなものになっており、実現される運動はこれを満たすものだと考えることが出来ます。
を
とおき、オイラーの方程式と対応させれば、 
に拡張すれば、
を
と表せば、
ここでこの
をとおき、オイラーの方程式と対応させれば、
これを
に拡張すれば、
さらにここで
をと表せば、
一般化運動量は
の運動を考えてみましょう。
を水平面とし
を鉛直上向きに座標を取ります。そうするとラグランジアンは
ある質点
の運動を考えてみましょう。
を水平面としを鉛直上向きに座標を取ります。そうするとラグランジアンは
となるのでこれをラグランジュの式に当てはめれば
となるので結果は次のようになります。
ラグランジュ関数記事一覧
ラグランジュによる連成振動の解①
長さの糸を張力で張っておき、長さごとに質量のおもりを結びつけ、そのおもりは直角方向のみに振動するとします。こういった場合のおもりの小振動をラグランジアンを使って求めてみましょう。
