運動方程式の一般化
デカルト座標においての運動方程式の座標成分は
同じ運動を極座標系の動径方法と方位角方向のそれぞれで表せば
この運動を別の形で表現してみましょう。
運動方程式の変換
座標系においてある質量の平面運動について考えます。この質点にある力が働き、そのために微小変化が加わったとします。
この時に作用した力による微小仕事は、 で与えられます。 ここで上記式のとをそれぞれと置きます。すると、
と表現できます。この時のを一般化力といいます。
運動量はだったのでそれぞれの力に分解すれば、
運動エネルギーについて考えるとだったのでこの式より
となります。したがって
と書けます。
極座標表示において速度はと表せるので運動エネルギーは
これにより
ここで
の式に注目してみると外力のほかにというのが含まれています。これは見かけの力、つまり遠心力を意味しており
かつ、
これらの式をそれぞれ照らし合わせれば次のように表すことができます。
の式に注目してみると外力のほかにというのが含まれています。これは見かけの力、つまり遠心力を意味しており
またの式においては力に対してというのがついてきます。
この式の右辺をとすると さらにを考慮すれば よりとなります。
一般化座標と一般化力
デカルト座標に代わってすべての質点系の位置を特定するのに用いられる変数群を一般化座標といいます。
があり、上記のを時間で微分すると次のようになります。
デカルト座標と一般化座標の間には座標変換に伴う変数関係、
デカルト座標系のは時間の関数であるので、一連の座標変換により(も時間の関数なので)、はの関数になるためにこのような微分表現になります。
いま、質点系の各質点が微小変化しがになったとします。この時のの変化は、
この変位に対して力のする仕事は
上記のdxのを代入すれば ここで
上記のdxのを代入すれば ここで
と置けば こののことを一般化座標における一般化力といいます。