連成振動の解②
壁側についているばねのばね定数を
、真ん中のバネのバネ定数を
とし、そのバネの境に重さ
のおもりをつけた場合の連成振動の解。
、真ん中のバネのバネ定数をとし、そのバネの境に重さのおもりをつけた場合の連成振動の解。
振動の方向は水平方向のみとします。
とすれば左端のバネは
だけ伸び、中央のバネは
だけ伸びます。そして右のバネは
だけ縮みます。
両質点の変位を
とすれば左端のバネはだけ伸び、中央のバネはだけ伸びます。そして右のバネはだけ縮みます。ラグランジアンは
ここでを、
を、
と置いて時間微分を施せば、
この時間微分による結果を(1.53)(1.54)にそれぞれ代入すると、
同様にして、
上記の式においては
が同時に０になると運動しないことになります。
のような運動が可能であるにはが同時に“０”にならない条件として、
先ほどのセクション内において示した次のような式、
が同時に０になると運動しないことになります。なので、
のような運動が可能であるにはが同時に“０”にならない条件として、
先ほどのセクション内において示した次のような式、
を考える必要があります。これを実際に計算すると
出てきた式において
とおきましょう。すると次に示すようなＸに対する2次方程式が出来上がります。
これを計算します。
という結果が出てきたので次の2つの解が求まることになります。
を代入すると、
また
を代入すれば、
したがって、
の４つとも解になるのでそれぞれを代入します。
これが一般解になります。
の与える解は
なので距離を変えずに左右に振動する運動。また一方で
は逆方向の運動と考えられます。
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