ハミルトンの方程式
前のセクションのオイラー・ラグランジュの方程式においては1つの関数のものを扱いましたが今度は2つ以上の場合においての系の状態を考えてみましょう。
それらをまず、
と置くならば、
対象とする系がどのような状態にあるかを考えた場合、
個の微分方程式においてすべての初期条件を取り込んで完全に解き、個々の質点の振る舞い追うことが出来れば力学的状態が限定されます。
ちなみに束縛条件がなければ
となります。
個の微分方程式においてすべての初期条件を取り込んで完全に解き、個々の質点の振る舞い追うことが出来れば力学的状態が限定されます。
束縛条件などがない場合
一般に系の状態の時間的変化を決定する方程式は自由度の数だけあり、よって次のように表現できます。
となります。
ルジャンドル変換
を独立変数の組とし、
を示量変数である場合の全微分方程式
ここで新たに
という関数
を導入し、それに対して同じく全微分をしてやれば、
いままでの独立変数だった
が、今度は独立変数が
といった具合になります。
これをルジャンドル変換といいます。
ハミルトン形式
さらにここにおいてラグランジュを用いて
に共役な一般化運動量
を定義すると、ハミルトン
はラグランジアンから先ほどのルジャンドル変換
によって得られた次のような形で得られます。
この式において
により偏微分を施せば
さらに
ここで
の式を使えば、
なので
まとめると次のようになります。
ハミルトン方程式
この出てきた式をハミルトン方程式と言ったりします。
ハミルトンの簡単な例
いま例としてラグランジアンを
とします。そうすると
なので、
これらにより、
これが
におけるハミルトニアンになります。
