微分積分

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多項式の展開

例えば次のような式、

 

 

この式を、

 

 

といった形にすることを考えてみます。

 

まず、式を次々に微分していくと、

 

 

ここでｘに１を代入していくと、

 

という結果が出てきますが、ここでの式をとおくと、まず、

次に、を求めるためにの式をxで微分し、１を代入すると、

であることがわかります。

ちなみにの式の微分は合成関数微分を使っています。
例えばの第３項は次のように微分を行っています。

より、

として計算しています。

さらに微分して同じように１を代入すれば、

同様に、

ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると次のような関係があるということです。

以下の結果を使えば式は次のように表現できます。

ここまではについての多項式展開をしてきましたがそれ以外のについてもまた同様になります。

 

上記の式は３次の多項式ならば成立する式であり、

を含む開区間でが微分可能なとき次のようなことが言えます。

以上をテイラー展開と呼び、式のでの値をまわりで展開するといったりします。

 

ちなみに分母にあるというのは、Nのカイジョウとよび、以下のように定義されているものです。

例えばだった場合、

となります。ちなみに0のカイジョウは1になります。

 

上記のやり方に手をくわえたもので点回りにおけるテイラー級数があります。これは一般的にマクローリン展開などと呼ばれているようです。

 

次に示す関数の周りでのテイラー展開（マクローリン展開）。

 

(1)

はでいくら微分していっても同じ結果が出てくるので０点まわりのテイラー展開、

 

 

に当てはめれば、以下のようになる。

 

 

(2)

 

などとやって３階微分までやっていくと、

 

 

のようになります。これを代入していけば、

 

問題の中にはテイラー展開せよ、と明確に表現することなく次のような感じで出題されることもあります。

 

といった式があった場合、この関数を第3項までのべき級数展開して表示せよ、なんていう設問があった場合はたいていは次のようにマクローリン展開して問題を解いていきます。

 

 

よって解答の例としては以下のようになる。

 

すべての級数がテイラー展開でうまくいくとは限りません。

 

例えば次のような式を級数展開する場合はテイラー展開をするとごちゃごちゃした式が出てくるので別の方法を使います。

 

 

まず、

 

 

のような級数を考えて、それにさらに定数項のを両辺に加えたものを用いて次のような式を導きます。

 

ここでｎを∞として仮定すれば、

 

に当てはめてとおいて上式に当てはめていけば、

ここでこの式の両辺を０から１の定積分を実行する。 まず右辺は、

 

一方、左辺の積分に関して、テイラー展開の微分は、

 

 

であったので０から１までの定積分を行うと、

 

 

となるので次のような関係式が導かれます。