固有値と固有ベクトル

考え方としては以下のようになります。

まずあるベクトルがあってそれは行列の行列の（一般的には）線形演算子（一次変換）とし、また、を次の列ベクトルとします。するとこのとき、

が成り立つならば、

といいます。

ちなみに量子力学においてはが物理量、が状態に、が観測される値に対応します。

上記式を変形させると、

は単位行列です。

今仮にが存在したとすると、これをの左から両辺にかけると、

これは、という条件に反するのでは存在しないことになります。

従って、

でなければなりません。

はの次方程式（これを固有方程式といいます）となるのでこれを解けば固有値が求まるという寸法になります（一般的には個求まります）。

固有値が求まったら、それらをそれぞれに代入し、連立方程式の形にして、そしてこれを解けば固有ベクトルが求まります。

固有値と固有ベクトルを求める例題

固有値と固有ベクトルの例題

の固有値と固有ベクトルを求めてみましょう。

また、

なので、次のようにそれぞれを代入していきます。

この結果によりは以下のように求まります。

さらにここで、

とします。

の場合

をに代入して

これを満たす、

を見つけると、

したがって、

の場合

をに代入します。

これらを満たすを見つけると、

になります。

なので、

以上の結果から、

の固有値

の固有値は、

固有値に属する固有ベクトル

に属する固有ベクトルは、

固有値に属する固有ベクトル

固有値に属する固有ベクトルは、