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固有値と固有ベクトル


固有値と固有ベクトル

考え方としては以下のようになります。

まずあるベクトルがあってそれは列の行列の(一般的には)線形演算子(一次変換)とし、また、次の列ベクトルとします。するとこのとき、

が成り立つならば、

といいます。

ちなみに量子力学においてはが物理量、が状態に、が観測される値に対応します。

上記式を変形させると、

は単位行列です。

今仮にが存在したとすると、これをの左から両辺にかけると、

これは、という条件に反するのでは存在しないことになります。

従って、

でなければなりません。

次方程式(これを固有方程式といいます)となるのでこれを解けば固有値が求まるという寸法になります(一般的には個求まります)。

固有値が求まったら、それらをそれぞれに代入し、連立方程式の形にして、そしてこれを解けば固有ベクトルが求まります。

固有値と固有ベクトルを求める例題

固有値と固有ベクトルの例題

の固有値と固有ベクトルを求めてみましょう。

また、

なので、次のようにそれぞれを代入していきます。

この結果によりは以下のように求まります。

さらにここで、

とします。

の場合

に代入して

これを満たす、

を見つけると、

したがって、

の場合

に代入します。

これらを満たすを見つけると、

になります。

なので、

以上の結果から、

の固有値

の固有値は、

固有値に属する固有ベクトル

に属する固有ベクトルは、

固有値に属する固有ベクトル

固有値に属する固有ベクトルは、


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