スカラー三重積の計算

次に示す３つのベクトル、

を考えます。

こうしたとき次に示す“スカラー三重積”という公式が成り立ちます。

具体的には次のようになります。

【証明】

まず上式の左辺を計算します。

より、

次に右辺の計算についてですが、これは行列式と呼ばれるもので、この計算法はほとんどのテキストにおいては“サラス法”と呼ばれるものを説明しています。

それでもいいのですがこの方法だと汎用性がないので当サイトにおいては、“行列式展開法”と呼ばれる計算方法について説明したいと思います。

【サラス法と行列式展開法】

一般的な線形代数学のテキストにおいては、３行３列の行列式計算はサラスの方法を用いて説明しているものがほとんどだと思います。

しかしこの方法は基本的にやりにくく、そして汎用性がありません。

そこでこのサイトで進めるのが行列式展開法です。

この方法を使えば４行４列でも５行５列（かなり面倒になりますがちゃんと計算できます）でも計算できるようになります。

【行列式展開法の定義】

次の式をよく見てください。

右辺の真横に位置している行列式は、元の左辺の

がある位置から６時方向と３時方向にラインを引いたとすると、そのライン上にない部分を抜き出していることに気がつくはずです。

そしては１２時、６時方向（上下方向）と３時方向のライン、さらには

は１２時方向と３時方向のライン上にない部分を抜き出しているのがわかると思います。

ここで注目すべき点は符号です。

のようにプラスとマイナスを交互にして番地のように憶えましょう。

４次、５次さらにはそれ以上でも同じになります。

【式の変形】

ここではあくまで、
サラス法とは違うという意味を強調するために次のような方法をあえてとっているものなんだと考えてください。

まず右辺の行列式、

において次に示すような形にそれぞれの代数の配置を換えます。

このようにすれば先ほどの行列式展開法の定義がそのまま使えます（もちろん変形せずに行列式展開法の定義でそのまま計算したとしても結果は同じです）。

早速やってみると、

となります。

結局のところ、

という結果が導かれます。

なので最終的に次のような公式が成り立ちます。

【スカラー三重積についての補足】

さらに上記のスカラー三重積の右辺においては次のようなことも成り立ちます。

これも実際に外積、内積を実行することによって証明されます。