円錐の中心軸を通る慣性モーメントの求め方(作成中)

MoI of a Solid Cone

先日つべを見ていたところ、moment of ～というのが出ていたのでリンク先を見たら円錐の慣性モーメントの計算に関するものでした。

現在は削除されていますが、円錐の体積の計算などのコンテンツを作っておきながらなんで今までやってなかったんだという感じのコンテンツになるので今更ながら作成したものになります。

moment of inertiaとは

moment of inertiaとは慣性モーメントのことでこれは物体（剛体）の回転運動に関する物理的特性を示す用語になります。

サテライトサイトでこの慣性モーメント（よくわかる慣性モーメント）に関するサイトを運営しているので興味本位で見たところ結構面白かったので今回これの詳細な説明と計算過程をやってみたいと思います。

右の円錐の画像はもともとよくわかる慣性モーメントというサテライトサイトにて体積積分の例題として使っているものになります。
これを使って進めていこうと思います。

上図右側の円錐の絵の通りの相似関係で進めていきます。

円錐の体積

円柱座標系における円錐の体積積分に関する計算過程

円錐の慣性モーメントを導出する前に円錐の体積を求めます。
円錐の体積を求める場合デカルト座標ではなく円柱座標に置けるヤコビアンを使用します。

なお、の範囲に関しては以下のような相似関係を利用します。

微小体積要素は、